• 5

3.3. Доказательство теоремы Коши

. Пусть нам даны два изоморфных выпуклых многогранника М и М\ соответствующие грани которых равны. Мы должны показать, что все двугранные углы одного из этих многогранников также равны соответствую­щим углам другого.

Предположим, что среди соответствующих двугранных углов данных многогранников име­ются неравные. Отметим каждое ребро много­гранника М, двугранный угол при котором больше соответствующего двугранного угла многогранника М', знаком «плюс», а каждое ребро, двугранный угол при котором меньше соответствующего двугранного угла,—знаком «минус»; те ребра, двугранные углы при которых равны соответствующим им углам, мы оставляем неотмеченными. По нашему предположению, у многогранника М имеются отмеченные ребра; к каждой вершине, к которой примыкает какое-нибудь отмеченное ребро, в силу леммы 3 должны примыкать еще по меньшей мере три таких ребра. Отмеченные ребра образуют на поверхности многогранника М неко­торую сетку С, делящую эту поверхность на несколько областей1). Ребрами этой сетки будут отмеченные ребра многогранника М, а вершинами — те из вершин многогранника М, к которым примыкает хотя бы по одному отмеченному ребру.

Обозначим число вершин, граней и ребер, определяемых сеткой С, соответственно через В, Г к Р. Подсчитаем общее число х перемен знаков, которое мы получим, обходя последовательно ребра, примы­кающие к одной вершине сетки С, затем к другой, затем к третьей и т. д. В силу леммы 3 при каждой вершине будет не менее

') В § I мы рассматривали сетки на сфере; рассмотрение сеток на поверхности выпуклого многогранника ничем не отличается: достаточно спроектировать поверхность многогранника на сферу.

 

четырех перемен знаков. Следовательно,

Х3г4 В.           (5)

Подсчитаем теперь общее число у перемен знаков, которое мы получим, обходя последовательно контур каждой грани сетки С. Число перемен знаков при обходе каждой грани должно быть четным; кроме того, оно не может превышать числа сторон этой грани. Сле­довательно, для треугольной грани число перемен знаков будет не более 2, для четырехугольной грани—не более 4, для пятиугольной грани — снова не более 4, для шестиугольной грани — не более 6, для семиугольной грани — снова не более 6 и т. д. Таким образом, если обозначить число треугольных, четырехугольных, пятиугольных и т. д. граней сетки С соответственно через Р,, Р4, Ps, ..., то будем иметь

у^2Г, + 4Г4 + 4Г4 + 6Гв + 6Г7+...  (6)

Но, очевидно, общее число перемен знаков не зависит от того, будем ли мы его подсчитывать по вершинам или по граням сетки С: два ребра, являющихся соседними при обходе некоторой вершины, будут соседними также и при обходе некоторой грани, а потому будут одновременно давать или не давать нам одну перемену знака при обоих способах подсчета. Таким образом, х=у, и, сравнивая неравенства (5) и (6), получаем

4Я^2Г,+ 4Г4 + 4Г, + 6Гв + 6Г7+... (7)

Покажем теперь, что это последнее неравенство противоречит теореме Эйлера. Действительно, согласно следствию из теоремы Эйлера (стр. 399) мы имеем для сетки С соотношение

В+Г— Р5Э2,

т. е.

4£Ss8-f4P— 4Г.       (8)

Но, очевидно,

Г=Г, + ГЛ + Г, + Г,+ ...          (9)

Выразим и число Р через числа Гк. Для этого пересчитаем ребра сетки С, подсчитывая стороны сначала всех треугольных граней, затем всех четырехугольных граней, затем пятиугольных и т. д. Всего мы насчитаем таким образом ЗГ, + 4Г4-(-5PS-(- ... ребер, однако при этом каждое ребро будет подсчитано дважды (так как оно принадлежит двум граням). Следовательно,

2Р=ЗГ, + 4Г4+5Г, + 6Г„+... (10)

Учитывая соотношения (9) и (10), неравенство (8) можно перепи­сать в виде

4В^ 8 + 2Р, -j- 4Pt -J- б/, -j- 8Pe -f- • • •     (П)

27 Энциклопедия, кн. 4

Сравнивая неравенство (11) с полученным ранее неравенством (7), мы видим, что они противоречат друг другу, так как правая часть неравенства (11) заведомо больше правой части неравенства (7).

Таким образом, предположение о существовании неравных соот­ветственных двугранных углов многогранников М и М' привело нас

к противоречию, и теорема Коши пол­ностью доказана.

Из теоремы Коши следует, что вы­пуклый многогранник с жесткими (не­изменяемыми) гранями является жест­ким, т. е. не может быть деформирован, даже если его грани соединены между собой шарнирно. Заметим, что в этом отношении многогранники резко отлича­ются от плоских многоугольников. Пло­ский многоугольник, вообще говоря, можно деформировать, не меняя длин его сторон; например, шарнирный квадрат деформируется в ромб (рис. 37); исключение здесь составляют лишь треугольники, которые, как известно, обладают свойством жесткости.

Отметим еще, что в теореме Коши предположение о выпуклости обоих рассматриваемых многогранников весьма существенно: выпуклый многогранник может иметь грани, равные соответствующим граням

 

Рис. 37.

 

 

 

Рис. 38.

изоморфного ему невыпуклого многогранника. (Два таких многогран­ника изображены на рис. 38.) Однако такие многогранники не могут быть получены один из другого непрерывной деформацией (при кото­рой не менялись бы форма и размеры граней), так как в процессе такой деформации выпуклый многогранник еще некоторое время должен был бы оставаться выпуклым, что невозможно в силу теоремы Коши.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я