• 5

Теорема К о ш и

. Если все грани одного из двух изоморфных выпуклых многогранников М и /Й, равны соответствующим гра­ням другого, то эти многогранники равны.

Очевидно, для доказательства равенства многогранников, удов­летворяющих условию теоремы Коши, достаточно доказать равенство двугранных углов при всех их соответственных ребрах. Доказатель­ство основывается на следующих леммах.

Лемма 1. Если, не изменяя длин сторон (плоской) выпуклой ломаной линии А1Аг.. .Ап, увеличить некоторые из ее углов так, чтобы полученная лома­ная снова была выпуклой, то расстояние между кон­цами этой ломаной увели­чится.

Доказательство. Для упрощения рассуждений введем некоторые вспомога­тельные термины. Будем называть прямую АгАп (и любую параллельную ей) горизонтальной; на­правление от точки At к точке Ап будем характери­зовать словами «слева на­право»; наконец, направле­ние, перпендикулярное пря­мой AtAn и обращенное в ту сторону от эгой прямой, с которой расположена данная ло­маная, будем характеризовать словами «сверху вниз» (рис. 33).

Через самую нижнюю вершину Ak данной ломаной проведем горизонтальную прямую р (таких вершин может оказаться две — Ak и Ak+l\ в этом случае сторона AkAk+x будет лежать на прямой р). Оче­видно, вся ломаная АХА2 ... Ап будет лежать в полосе, заключенной между прямыми А1Ап и р. Спроектируем вершины А1 и Ап ортогонально на прямую р и обозначим их проекции соответственно через At и Ап.

Пусть теперь нам нужно увеличить углы ломаной AXAZ ... Ап до некоторых заранее данных величин (меньших 180°, так как полу­ченная ломаная должна остаться выпуклой). Увеличим сначала (если 2<k) угол Аг до требуемой величины (если он вообще должен быть увеличен), повернув для этого сторону A2At вокруг то жи Аг (про­тив часовой стрелки); пусть точка At займет при этом положение ^J1', а ее проекция — положение (см. рис. 33). Очевидно, обе точки, А, и А['\ лежат выше точки Аг (ибо отрезок АгА[^ должен лежать внутри угла между лучом АгАх и продолжением отрезка АгАг

 

за точку Аг); поэтому при указанном повороте проекция точки Аг будет перемещаться справа налево. Следовательно, точка /ij1' будет лежать левее точки А,. Увеличим затем до нужной величины угол А, (если 3<А); для этого повернем вокруг точки Аг как жесткое целое ломаную А^АгАх, или же, что равносильно этому, отрезок AsA^\ Так же как и ранее, проекция точки А, при этом сместится влево. Поступим таким же образом с углами Ал, ...,Ак_1. Загем таким же путем увеличим углы An_t, Ап_г, ..., Ак+Л правой поло­вины данной ломаной; при этом проекция вершины Ап может смес­титься только вправо. Наконец, увеличим угол Ак, поворачивая вокруг точки Ak обе половины ломаной (левую —против часовой стрелки, а правую —по часовой стрелке) так, чтобы обе эти поло­вины оставались выше прямой р.

В результате мы получим новую ломаную А,Аг ... А„, причем отрезок Ant соединяющий проекции ее концов, будет содержать внутри себя отрезок АхАп. Таким образом, А1Ап<_А'1А'п. Но А1Ап=А1Ап

(так как АшАп\\р), а A[A^AtA„. > Следовательно, А,Ап < А,Ап, и Т * лемма 1 доказана.

Отметим, что именно в до­казательстве Коши леммы 1 был допущен пробел, лишив­ший необходимой полноты все данное им доказательство те- 'э оремы. Именно, доказательство Коши существенным образом опиралось на тот факт, что, увеличивая по одному углы данной ломаной, мы после каждого шага получаем снова выпуклую ломаную. При этом упускалось из виду, что некоторые из полученных промежуточных ломаных могут быть и невыиуклыми. О такой возможности свидетельствует пример ломаной А^^^А^, изображенной на рис. 34: если каждый из ее углов Аг и Ла требу­ется увеличить до прямого (в результате чего, очевидно, получится снова выпуклая ломаная), то, увеличив до нужной величины лишь один из этих углов, мы придем к невыпуклой ломаной. Приведен­ное выше доказательство леммы 1 никак не было связано с выпуклостью промежуточных ломаных.

Лемма 2. Пусть выпуклый многоугольник АЛАг ... Ап де­формируется в выпуклый же многоугольник так, что длины его сторон при этом не меняются, а из углов хотя бы один изме­няет свою величину. Отметим знаком «плюса вершины тех углов данного многоугольника, которые при этой деформации

 

Рис. 34.

увеличиваются, а знаком «минус» — вершины тех углов, которые при этой деформации уменьшаются (вершины тех углов, которые не изменяют своей величины, мы оставляем неотмеченными). Тогда при последовательном обходе вершин данного многоуголь­ника мы будем иметь не менее четырех перемен знаков (неотмечен­ные вершины при подсчете перемен знаков не учитываются).

Доказательство. Начав обход вершин многоугольника с какой-нибудь отмеченной вершины, мы должны, дойдя снова до этой вершины, вернуться к тому же знаку, с которого начали; следова­тельно, число перемен знаков должно быть четным. Оно не может быть равно нулю, так как в этом случае все отмеченные вершины имели бы один и тот же знак, например «+», и по лемме 1 одна из сторон первого многоугольника должна была бы увеличиться, что противоречит условию теоремы.

Предположим, что мы имеем всего две перемены знаков. Это означает, что при обходе вершин многоугольника АхАг ... Ап на некотором участке, скажем, от вершины Л, до вершины Ak, все отмеченные вершины будут иметь знак «-[-», а далее—от вершины Ak+l до вершины Ап — знак <.<—» (рис. 35). Выберем произвольную точку С на сто­роне AnAt и произвольную точку D на стороне         Тогда в силу леммы 1, примененной к ломаной С4, ... AkD, отрезок CD должен при нашей деформации увеличиться, а в силу той же леммы 1, при­мененной к ломаной DAk+l ... АпС,— уменьшиться.

Полученное противоречие и показывает, что число перемен зна­ков не может равняться 2. Следовательно, это число не менее 4, что и требовалось доказать.

Замечание. В леммах 1 и 2 мы рассматривали для простоты лишь плоские многоугольники. Однако эти леммы вместе с их до­казательствами (из которых первое требует лишь несущественных изме­нений ')) остаются справедливыми и для сферических многоугольни­ков (т. е. многоугольников на сфере, образованных дугами больших окружностей). Именно к таким многоугольникам нам придется при­менять эти леммы.

Лемма 3. Пусть выпуклый многогранный угол деформируется в выпуклый же многогранный угол так, что его плоские углы при этом не изменяются, а из двугранных углов хотя бы один

') Именно, большой круг р (вместо прямой р) должен быть выбран так, чтобы он пересекал большой круг А,Ап в точках О, и 02, лежащих вне дуги А,Ап Проектирование на р следует осуществлять с помощью окруж­ностей, лежащих в плоскостях, перпендикулярных диаметру Ofit сферы.

 

изменяет свою величину. Отметим ребро этого двугранного угла знаком «.плюс-» или «минус», смотря по тому, увеличивается или уменьшается в результате нашей деформации двугранный угол при этом ребре. Тогда при последовательном обходе ребер много­гранного угла мы будем иметь не менее четырех перемен знаков.

Доказательство. Проведем сферу произвольного радиуса с центром в вершине данного многогранного угла. В пересечении этой сферы с многогранным углом мы получим сферический многоугольник (рис. 36), каждая сторона которого будет измеряться соответствую­щим плоским углом многогранного угла, а каждый угол — двугранным

углом многогранного угла. Деформации много­гранного угла будет отвечать деформация сферического многоугольника; теперь лемма 3 непосредственно вытекает из леммы 2.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я