• 5

§ 3. Развертка многогранника. Теорема Коши

3.1. Развертка многогранника. Существование многогранника с данной разверткой. Практически, когда хотят изготовить модель многогранника, ее часто склеивают из плоских многоугольников — граней многогранника. Для этого нужно не только располагать набором

 

 

 

многоугольников, которые должны служить гранями многогранника, но также знать, какие их стороны следует склеивать между собой. Совокупно:ть многоугольников, соответственно равных граням неко­торого многогранника, вместе с указанием того, какие их стороны и вершины представляют собой одни и те же ребра и вершины многогранника, называется разверткой этого многогранника. Так, например, развертка многогранника, изображенного на рис. 30,а, показана на рис. 30, б>; здесь часть сторон, подлежащих склейке, уже совмещены друг с другом, а остальные стороны и вершины, которые должны быть склеены, обозначены одинаковыми буквами.

 

Ясно, что имея многогранник, мы всегда можем построить его развертку. Гораздо менее ясно, можно ли, наоборот, задав заранее набор многоугольников и схему склеивания их сторон и вершин, быть уверенным в том, что тем самым определен некоторый много­гранник—и если это так, то сколько различных многогранников мы можем таким образом получить. Иными словами, возникает вопрос о существовании и единственности многогранника с заранее заданой разверткой. Мы рассмотрим этот вопрос лишь в отношении выпуклых многогранников.

Заданная совокупность плоских многоугольников (вместе с задан­ной схемой склеивания их сторон и вершин) определяет комбинатор­ный тип многогранника, а также форму и размеры его граней. Комби­наторный тип согласно теореме Штейница, всегда может быть реализован некоторым выпуклым много­гранником, если только вы­полняются следующие усло­вия:

1)         должны выполняться все три требования, фигури­рующие в определении многогранника (см. § 1);

2)         число вершин, гра­ней и ребер развертки') должно удовлетворять тео­реме Эйлера:

В+Г—Р=2.

Кроме того, для су­ществования выпуклого мно­гогранника с данной раз­верткой необходимо еще вы­полнение следующих метри­ческих условий:

3)         склеиваемые стороны многоугольников должны иметь одинако­вую длину;

4)         сумма плоских углов при каждой из вершин развертки должна быть меньше 36СР.

Условия 1) — 4), необходимость которых очевидна, не явля­ются еще достаточными для существования искомого многогран­ника. Так, например, совокупность многоугольников, изображенная на рис. 31, хотя удовлетворяет всем этим условиям, все же не

/

с

Л Л с

 

 

 

') При этом, разумеется, стороны (и вершины) многоугольников, подле­жащие склейке, должны считаться одним ребром (одной вершиной) раз­вертки.

является разверткой никакого многогранника. В самом деле, если бы существовал многогранник с такой разверткой, то его ребрэ ЕА было бы перпендикулярно плоскости ABCD (так как ЕА _[_ АВ и ЕА J_ AD), откуда в силу известной теоремы о трех перпендикулярах следовало бы, что BE J_ ВС, вопреки данной на развертке величине угла СБЕ.

Оказывается, однако, что перечисленные вы­ше условия 1) — 4) обеспечивают существование многогранника (и притом выпуклого), если не требовать, чтобы этот многогранник имел в точ­ности данную развертку, а допустить объеди­нение некоторых смежных многоугольников дан­ной развертки в одну грань и, наоборот, раз­биение некоторых многоугольников на несколь- в ко граней (так, например, на. рис. 31 достаточно Рис. 32.         разбить четырехугольник ABCD диагональю BD

на два треугольника, чтобы получить развертку некоторого выпуклого многогранника; см. рис. 32). Этот факт был до­казан в 1942 г. ленинградским математиком А. Д. Александро­вым').

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я