• 5

2.4. Двойственность

. С понятием абстрактного многогранника и теоремой Штейница связан еще один интересный геометрический факт. Возвращаясь к определению абстрактного многогранника, легко заметить, что описываемые этим определением свойства граней в точности таковы же, как и свойства вершин, т. е. это определение не изменится, если всюду в нем слово «грань» заменить словом «вершина» и наоборот; условия I—IV при этом сохранят свое содер­жание, условие Va превратится в условие V6 и наоборот. Это означает, что, имея какой-нибудь абстрактный многогранник М и называя его грани «вершинами», ребра — по-прежнему «ребрами», а вершины — «гранями», мы получим совокупность «вершин», «ребер» и «граней», снова удовлетворяющую всем требованиям определения абстрактного многогранника, т. е. некоторый новый абстрактный многогранник Мг

Два абстрактных многогранника М и Ж,, между элементами ко­торых можно установить взаимно однозначное соответствие так, чтобы вершинам, ребрам и граням одного отвечали соответственно грани, ребра и вершины второго и чтобы при этом инцидентным парам элементов одного многогранника отвечали инцидентные пары элементов второго, называются двойственными друг другу. Это определение весьма сходно с определением изоморфизма многогран­ников; разница состоит лишь в том, что вершинам одного многогран­ника в случае двойственности должны отвечать не вершины, а грани второго (и наоборот). Как мы видели, для каждого абстрактного многогранника существует двойственный ему абстрактный мно­гогранник.

Теорема Штейница позволяет распространить этот результат и на пространственные многогранники нулевого рода: для каждого про­странственного многогранника нулевого рода существует двой­ственный ему пространственный (даже выпуклый) многогранник.

М

 

 

 

Рис. 27.

Так, например, /2-угольной призме (рис. 27, а), двойствен много- граннник, называемый л-угольной бипирамидой (рис. 27, б); я-угольной пирамиде двойственна снова /z-угольная пирамида (рис. 28);

М

 

 

 

Рис. 28.

многограннику, изображенному на рис. 29,а, двойствен многогран­ник, изображенный на рис. 29,6. Следует, однако, иметь в виду, что соотношение двойственности связывает между собой не отдельные конкретные пространственные многогранники, а целые комбина­торные типы многогранников, т. е. в конечном счете снова абстрактные многогранники.

Двойственные друг другу абстрактные многогранники обладают сходными комбинаторными свойствами, но только свойства вершин одного многогранника будут свойствами граней другого. Другими словами, из всякой теоремы, выражающей комбинаторное свойство некоторого многогранника Л1, можно получить другую теорему, относящуюся к многограннику, двойственному М, заменив всюду в формулировке первой теоремы слово «грань» словом «вершина» и наоборот. Эта новая теорема называется двойственной первой; она будет верна или неверна одновременно с первой. В частности, если какая-нибудь теорема выражает общие свойства многогранников, т. е. относится к произвольному многограннику, то и двой­ственная ей теорема будет относиться к произвольному многограннику

 

 

 

Рис. 29.

Примерами двойственных теорем могут служить установленные выше (см. стр. 402—403) свойства 1°—4° абстрактных многогранников: свойство 2° двойственно свойству 1°, а свойство 4°—свойству 3°. Отсюда ясно, между прочим, каким образом можно получить опущен­ные доказательства свойств 2° и 4°: чтобы доказать, например, свой­ство 2°, достаточно провести рассуждение, двойственное доказатель­ству свойства 1°, т. е. заменить всюду в этом доказательстве слово «грань» словом «вершина» и наоборот. Рекомендуем читателю самостоятельно выполнить это полезное упражнение. Заметим еще, что теорема Эйлера, доказанная выше, является примером пред­ложения, которое двойственно самому себе (для двойственного многогранника числа Г, В, Р заменяются на В, Г, Р, а алгебраическая сумма Г -\-В—Р не меняется). В частности, двойственным для много­гранника нулевого рода будет снова некоторый многогранник нулевого рода.

Отмеченное выше положение, связывающее между собой различ ные комбинаторные теоремы, может быть названо принципом двой­ственности (для многогранников). Следует отметить, что этот принцип

установлен нами лишь по отношению к комбинаторным (топологиче­ским) свойствам многогранников. Однако, как мы увидим далее, такая же двойственность распространяется и на некоторые метриче­ские свойства многогранников.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я