• 5

2.3. Теорема Штейница

. Ясно, что всякий пространственный мно­гогранник можно рассматривать как некоторый абстрактный многогран­ник. Естественно возникает обратный вопрос: всегда ли существует пространственный многогранник, изоморфный заранее данному абстрактному многограннику, т. е. всякий ли абстрактный многогран­ник может быть реализован в виде некоторого пространственного многогранника. Оказывается, в наиболее важном случае, а именно для абстрактных многогранников с эйлеровой характеристикой, равной 2, на этот вопрос можно ответить положительна даже ограничиваясь лишь выпуклыми пространственными многогранниками. Этот факт был доказан немецким математиком Э. Штейницем.

Теорема Штейница. Всякий абстрактный многогранник, эйлерова характеристика которого равна 2, может быть реали­зован в виде некоторого выпуклого многогранника.'

Доказательство теоремы Штейница не может быть проведено лишь элементарно-геометрическими методами: оно опирается на некоторые вспомогательные предложения (см. ниже, леммы 1 и 2), которые могут быть доказаны лишь с привлечением топологических соображений.

Не останавливаясь на доказательстве этих вспомогательных предло­жений, мы изложим здесь элементарно геометрическую часть доказатель­ства теоремы Штейница; она сама по себе достаточно поучительна

Основную роль в доказательстве теоремы Штейница шрает одно преобразование абстрактных многогранников, которое мы сейчас и рас­смотрим

Пусть а, и а2— две грани абстрактного многогранника М, имеющие общую сторону АВ. Произведем над М следующие операции:

1)         исключим АВ из числа ребер многогранника М\

2)         заменим грани а, и а2 одной новой гранью а, считая инцидентными ей все стороны и вершины гране-i а, и а2 (кроме стороны АВ)\

3)         если после исключения ребра А В к одной из вершин А и В, например к А, примыкают только два ребра АА, и ААг многогран­ника М, исключим А из числа вершин и заменим эти ребра одним ребром А,Аг.

Такое преобразование абстрактного многогранника М назовем объеди- пением его граней а, и а2. Например, объединяя две грани куба (рис. 23, а), получим абстрактный многогранник, изоморфный треуголь­ной призме (рис. 23, 6).

26*

 

Легко видеть, что при объединении двух граней абстрактного миого- гранннка сохраняются все условия, рходящие в определение абстрактного многогранника, за исключением услгви i IV, которое может и нарушиться. Так, например, если в пирамиде SABCDE (высматриваемой как абстракт­ный многогранник) объединить основание AICDE с боковой гранью SAB (рис. 24), то грань SCD и новая (объедин»нн 1я) грань SCDE будут и\'еть общие вершины S и D, но не будут, гопр'ки условию IV, иметь общего ребра, соединяющего эти вершины Таким образом, совокупность вершин, ребер и гранен, получаемая в результате объединения двух каких-нибудь граней абстрактного многогранника, может уже не быть абстрактным многогранником.     ^

Однако имеет место следующая

Рис. 23.

Рис. 24.

Лемма 1. Во всяком абстрактном многограннике, эйлерова характе­ристика которого равна 2 (за исключением многогранника, изоморфного тетраэдру), можно найти такие све смежные грани, при объединении кото­рых получается снова абстрактный многогранник.

Отметим попутно, что объединение двух граней абстрактного много­гранника не меняет его эйлеровой характеристики. В самом деле, эта операция, уменьшая число граней на 1, одновременно исключает одно ребро; если же при этом исключается и какая-нибудь вершина, то число ребер уменьшается еще на 1. Следовательно, величина В + Г — Р остается во всех случаях неизменной.

Доказательство теоремы Штейница проводится индукцией по числу п граней многогранника. Рассмотрим сначала абстрактный мно­гогранник с наименьшим возможным числом граней. Если абстрактный многогранник икнет /г-угольную грань, то он должен иметь также k смежных с ней граней, т. е. всего не менее &+I граней. Так как во вся­ком случае А^З (свойство 4° абстрактного многогранника), то всякий абстрактный многогранник имеет не менее четырех граней. Из сказанного след>ет также, что многогранник с четырьмя гранями может иметь только треугольные грани. Но абстрактный многогранник с четырьмя треуголь­ными гранями существует, очевидно, только один: он соответствует извест­ному нам простри ствеж.ому многограннику — тетраэдру. Таким образом, для п = 4 теорема Штейница справедлива.

Предположим, что эта теорема доказана для некоторого значения л, т е. что всякий абстрактный многогранник (с эйлеровой характеристикой, равной 2), имеющий п граней, можно реализовать в виде выпуклого мно­гогранника.

Рассмотрим произвольный абстрактный многогранник М, имеющий п-{-1 граней. В силу леммы 1 можно объединить некоторые две смежные

грани аир этого многогранника так, чтобы в результате получился снова некоторый абстрактный многогранник М„. Пусть А и В— общие вершины граней а и р, а у— новая грань абстрактного многогранника УИ0. Этот абстрактный многогранник имеет уже п граней; следовательно, по пред­положению индукции, существует пространственный выпуклый многогран­ник М0 (рис. 25), изоморфный М0. П*сть у — грань многогранника М0, отвечающая абстрактной грани у, а Ли В — вершины грани у, отве­чающие абстрактным вершинам А и В грани у (если грань у не имеет, например, вершины А, т. е. если эта вершина сказалась исключенной при объединении враней а и р, то в качестве А можно выбрать произволь­ную точку соответствующей стороны многоугольника у). Отрезок АВ делит выпуклый многоугольник у на два многоугольника аир, отвечающих абстрактным греням а и р. Рассматривая эти многоугольники а и Р как иовые грани (взамен одной грани у), мы получим из многогранника М0

Я

 

 

 

новый пространственный многогранник М„ который, очевидно, будет изо­морфен исходному абстрактному многограннику М. Однако многогранник М, не является выпуклым, так как две его грани аир лежат в одной плоскости. Деформируем теперь многогранники М, так, чтобы превратить его в выпуклый.

Чтобы уяснить себе, как это делается, рассмотрим сначала простейший случай: предположим, что _грань а есть треугольник ABC и что к его вершине С, кроме ребер АС и ВС, примыкает еще только одно ребро CD (именно этот случай изображен на рис. 26). Повернем плоскость граии а вокруг прямой АВ так, чтобы ее новое положение пересекало отрезок CD в его внутренней точке, и примем эту точку пересече­ния за новое положение вершины С. В результате мы получим выпук­лый многогранннк М (рис. 26), изоморфный многограннику УИ,, а значит и абстрактному многограннику М. Этот многогранник Л] и представляет собой искомую реализацию абстрактного многогранника М.

Последнее наше рассуждение существенно опирается на то, что вершина С принадлежит, кроме грани а, еще только двум граням. Если бы таких граней было хотя бы три, то их плоскости однозначно определяли бы положение точки С, и никакое вращение грани а вокруг ребра АВ не было бы возможно (при сохранении неподвижными плоскостей всех остальных граней) без нарушения изоморфизма с многогранником Мг.

Чтобы завершить доказательство теоремы Штейница в общем случае, мы уточним заключительный этап проведенного выше рассуждения: именно, мы покажем, что всегда можно, не нарушая изоморфизма многогранников М и М,, повернуть интересующую нас грань а, если при этом смещать одновременно и плоскости остальных граней. Возможность согласовать между собой смещения всех граней (а следовательно, и вершин) многогран­ника М, основывается на следующем вспомогательном предложении.

Рассмотрим совершенно произвольную совокупность N граней и вершин данного абстрактного многогранника, будем всякую такую совокупность называть для краткости просто набором Назовем теперь поряд/ом произ­вольной грани (или вершины), входящей в набор N, число вершин (соответственно граней), принадлежащих набору N и инцидентных этой грани (вершнпе). Для многогранников с эйлеровой характеристикой, равной 2, имеет место следующая

Л е м м а 2. Во всяком наборе, состоящем более чем из одного элемента, существует по крайней мере два элемента (т. е. две грани, или две вершины, или одна грань и одна вершина), порядки которых не превышают 3.

Возвращаясь к доказательству теоремы Штейница в общем случае, мы имеем многогранник /И,, изоморфный данному абстрактному многограннику М, но не являющийся выпуклым из-за того, что две его грани а и р лежат в одной плоскости.

Пусть т есть общее число вершин и граней многогранника Л1,: т — В-{-Г Рассмотрим набор N , состоящий из всех граней и вершин этого многогранника; в силу доказанной леммы в этом наборе содержится не менее двух элементов порядка ^3. Обозначим один из таких элементов через ат, причем выберем его отличным от грани а (если эта грань имеет порядок 3). Затем рассмотрим новый набор Nv состоящий из всех граней и вершин многогранника М,, за исключением грани или вершииы ат. В силу той же леммы и в этом наборе имеются хотя бы два элемента порядка <3; обозначим один из них (отличный от грани а) через am_v После этого рассмотрим набор получаемый из N, исключением грани или вершины ат_х, и обозначим один из его элементов порядка ^3 (от­личный от грани а) через ат_г. Продолжая действовать таким же образом, мы придем в конце концов к набору Nm_„ состоящему из одной грани а; обозначим эту грань через а,. В результате все грани и вершины много­гранника М, окажутся расположенными в последовательность

а = а„ аг, а,,..., ат_„ ат          (4)

так, что каждый элемент этой последовательности будет инцидентен не более чем с тремя из предшествующих элементов.

Повернем теперь плоскость грани а = а, вокруг ребра АВ (общего ребра граней а и Р) в том направлении, в котором расположены от нее смежные с ней грани многогранника /И,, на достаточно малый угол, после чего перейдем к элементу аг последовательности (4). Если этот элемент инцидентен а,, т. е есть одна из вершин грани а, то примем за новое положение этой вершины какую-нибудь точку, принадлежащую новому положению плоскости а и достаточно близкую к старому положению вер­шины аг (например, точку, наиболее близкую к старому положению а,); если же элемент аг не инцидентен а„ будем считать его новое положение совпадающим со старым Аналогичным образом определим новое положение элемента аа, затем—элемента а4 и т. д. Каждый раз, определяя новое

положение элемента ah, мы будем в случае, когда он не инцидентен ии одному из предшествующих элементов последовательности (4), считать это новое положение совпадающим со старым; если ak инцидентен одному или двум предшествующим элементам, например и а/г_1, мы выберем новое положение ak близким к старому и инцидентным уже определенным ранее новым положениям элементов и ah_2\ наконец, если элемент ak инциден­тен трем предшествующим элементам, его новое положение однозначно определится новыми положениями этих трех элементов (плоскость грани определяется положениями трех вершин этой грани, вершина определяется положениями трех примыкающих к ней граней).

В результате указанного смещения граней и вершин многогранника М, мы получим'новый многогранник М, являющийся выпуклым (в силу выбранного направления вращения грани а) и изоморфным многограннику М, (так как взаимно инцидентным вершинам и граням одного из этих многогранников соответствуют взаимно инцидентные вершины и грани второго). Таким образом, многогранник М и представляет собой реализацию абстрактного многогранника М, существование которой утверждает теоре­ма Штейница.

Из теоремы Штейница вытекает также

Следствие. Всякий многогранник нулевого рода изоморфен некоторому выпуклому многограннику.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я