• 5

§ 7. Непротиворечивость и полнота аксиоматики евклидовой геометрии

7.1. Арифметическая модель геометрии Евклида. Теперь, когда мы имеем полный список аксиом геометрии, можно поставить вопрос о непротиворечивости геометрии Евклида и о полноте приведенной аксиоматики. Для доказательства непротиворечивости мы должны средствами арифметики (ничего другого у нас пока нет) построить модель евклидовой геометрии; для доказательства полноты следует установить, что любые две модели евклидовой геометрии изоморфны. И непротиворечивость, и полнота доказываются с помощью одного и того же приема — построения системы координат. Для простоты мы проведем эти построения не в пространстве, а только на евкли­довой плоскости, и притом очень схематично.

Прежде всего мы установим взаимно однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами. Пусть О и Л,—

две различные точки прямой. Отложим на луче ОД, отрезки Д,Д2, Д2Д,,          равные отрезку ОД,. На втором луче, определяемом точ­

кой О на прямой ОД, (см. теорему 5) отложим отрезки OBv ВхВг, B2BS, ..., равные отрезку ОД,. Разделив теперь отрезок ОД, на

10 равных частей') точками О, С,, С2,              Св, Д,, мы сможем на

каждом из отрезков

...BSB2, BtBlt Bfi, ОД„ Д,Д2, Д2Д,...          (*)

отложить десять отрезков, равных ОС,. Затем можно каждую деся­тую часть разделить етце на 10 частей и т. д. Точке Д( мы поста­вим в соответствие целое число /( = 1, 2, ...); точке О поставим в соответствие число 0, точке В{ поставим в соответствие число — i(i= 1, 2, ...). Далее, точкам С„ С2, ..., С9. делящим отрезок ОД, на 10 равных частей, мы поставим в соответствие числа 1 2 9

16' 16' " ' То' ^,еля остальные отрезки (*) на 10 равных частей, мы

получим точки, соответствующие числам , где п—любое целое число. Точно таким же образом мы можем построить точки, соответ­ствующие любым дробям вида ■

Если теперь М—произвольная точка нашей прямой, то при помощи аксиомы Архимеда мы можем найти такое целое число л, что точка УИ находится на отрезке с концами в точках, соответ­ствующих числам п. и n-f- 1, но не совпадает с точкой, соответствую­щей числу n-\- 1. Затем мы можем найти такое число а, ( = 0,1, 2,..., 9), что точка Af находится на отрезке с концами в точках, соотвег-

,           , о, 4-1            ч

ствующих числам « + и     ^ , но не совладает с второй из

этих точек. Затем мы найдем такое число а, (=0,1, 2, ..., 9), что точка М находится на отрезке с концами в точках, соответствующих

, о. , а, , а, , а2 4-1

числам я + ^+ц! и "+10+ ш2 ' и т' д' ТепеРь гочке М мы

а. , а, , а. .

поставим в соответствие действительное число n-+ , + Jqi+iqj + • • ■

Построенное соответствие между точками прямой линии и дейст­вительными числами является взаимно однозначным. Кроме того, оно обладает следующими двумя важными свойствами: а) если х, у, z—

') Напомним, что для этого используется следующая теорема если на одной прямой отложены равные между собой отрезки и через их концы проведены параллельные между собой прямые «до пересечения с другой прямой, то на этой прямой при пересечении с параллельными также образуются равные между собой отре ки. Доказательство этой теоремы проводится так же, каи в школьных учебниках.

непротиворечивость и полнота аксиоматики евклидовой геометрии 43

три действительные числа, удовлетворяющие неравенствам x<y<Zz (или х>_у>2), а М, N, Р—точки, соответствующие числам х, у, z, то точка N находится между М и Р; б) если х — х' = у—у', то точки М, М', N, N', соответствующие числам х, х', у, у', обладают тем свойством, что отрезок ММ' равен отрезку NN'. Из существо­вания этого соответствия ясна аналогия между аксиомами порядка и непрерывности поля действительных чисел и пространства Евклида.

Мы видим, что если Евклид понимал под «прямой линией» пря­молинейный отрезок, для которого он требовал только возможности неограниченного продолжения, здесь под «прямой» имеется в виду сразу вся прямая; аналогично обстоит дело с понятием плоскости.

Введем теперь на плоскости систему координат, т. е. рассмотрим две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке О, выберем из них равные отрезки ОЛ, и СМ, и для каждой из этих пря­мых установим указанным выше способом взаимно однозначное соот­ветствие между точками прямой и действительными числами. Введе­ние координатной системы позволяет обычным способом сопоставить с каждой точкой плоскости пару чисел х, у—координат этой точки. Таким путем устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и нарами (х, у) действительных чисел Точки, лежащие на одной прямой, удовлетворяют уравнению первой степени

Ах + Ву + С = О,       (**)

в котором хотя бы один из коэффициентов А, В отличен от нуля. Если три точки М, N, Р лежат на одной прямой, то точка М лежи! между N и Р в том и только в том случае, если она не совпадает ни с одной из точек N, Р и координаты х этих точек связаны одним из соотношений

хм s^jcp или XMSs Хр

и аналогично для координат у. Наконец, каждое движение плоскости изображается преобразованием вида

х' = а1х + Ьху + сх, У' =агх+Ьгу+сг,

для которого векторы (alt аг) и (bY, Ьг) являются единичными и взаимно перпендикулярными (т. е. а\ -f- а*= 1, b\-\-b\= 1 aibl-\~atbt—0).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я