• 5

2.2. Абстрактный многогранник

. Желая рассматривать лишь комбинаторные свойства многогранников, мы, естественно, приходим к понятию абстрактного многогранника. Абстрактным многогранником называется (конечная) совокупность произвольных элементов, называемых вершинами, ребрами и гранями, для которых каким-то образом определено отношение инцидентности (т. е. ука­зано, какие вершины, ребра, грани считаются инцидентными), удов­летворяющее перечисленным выше условиям 1—VI. Понятие абстракт­ного многогранника отражает, таким образом, взятые в чистом виде свойства инцидентности вершин, ребер и граней конкретных простран­ственных многогранников. Мы будем далее без специальных оговорок пользоваться по отношению к абстрактным многогранникам обычной геометрической терминологией, называя каждую грань, инцидентную п вершинам, л-угольником, инцидентные этой грани ребра — ее сторо-

26 Энциклопедия, кн. 4

нами и т. п. В отличие от абстрактных многогранников те многогран­ники, о которых говорилось в § 1, мы будем называть простран­ственными многогранниками.

Тривиальными примерами абстрактных многогранников являются одна грань (без ребер и вершин) или одна вершина (без ребер и граней), а также многогранник, состоящий из одной грани и одной вершины (не инцидентных между собой).

Столь же тривиальными можно считать абстрактные многогран ники, определяемые разбиением поверхности сферы на две области (грани), ограниченные тремя дугами (ребрами), соединяющими по­парно три точки (вершины, рис. 22, а), или на три области (грани) — тремя дугами (ребрами), соединяющими две точки (вершины, рис. 22, б). Мы будем далее исключать эти случаи из рассмотрения,

предполагая, что каждый рассматриваемый многогран­ник имеет не менее трех вер­шин и не менее трех граней.

Из определения абстракт­ного многогранника (и приня­того только что условия) вытекают следующие его простые свойства.

1°. Две вершины абст­рактного многогранника могут принадлежать не более чем одному ребру.

В самом деле, предположим, что вершины А и В принадлежат двум ребрам а и Ь. По условию V6 каждое из этих ребер должно принадлежать двум граням; пусть а-^-а,, а—а2 ^^-Р,,  Обе

грани а, и а2 не могут совпадать с гранями р, и Р2, так как это противоречило бы условию IV. Далее, если, например, а, совпадает с р,, а грани а2 и Р2 различны, то в силу того же условия IV вер­шины А и В должны принадлежать еще одному ребру С, общему для грлней а2 и Р2, т. е. мы приходим к абстрактному многограннику, изображенному на рис. 22,6 и исключенному нами из рассмотрения. Наконец, если гранн а,, о2, р,, р2 все различны, то в силу того же условия IV через вершину А должны проходить три стороны грани а, (принадлежащие кроме нее соответственно а2, р,, Р2), что про­тиворечит условию III.

2°. Две грани абстрактного многогранника не могут иметь более одного общего ребра.

Доказывается аналогично предыдущему1).

 

 

 

Рис. 22.

') Свойства 2° и 4° можно также получить из свойств 1° в 3° с помощью принципа двойственности (см. нвже, стр. 407).

3°. Каждая вершина абстрактного многогранника принадле­жит не менее чем трем граням (а следовательно, и ребрам).

В самом деле, в силу условия Via каждая вершина принадлежит хотя бы одному ребру, а значит (в силу условий V6 и 11), по крайней мере двум граням. Но если бы некоторая вершина А принадлежала в точности двум граням, то эти грани имели бы (по условию 111) два общих ребра, что противоре шло бы свойству 2°.

4°. Каждая грань абстрактного многогранника имеет не менее трех вершин (а следовательно, и сторон).

Доказывается аналогично предыдущему.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я