• 5

§ 2. Комбинаторный (топологический) тип многогранника. Теорема Штейница

2.1. Комбинаторные свойства многогранников. Изоморфизм.

Во многих вопросах теории многогранников бывает важно знать не форму и размеры граней рассматриваемого многогранника, а лишь число сторон каждой грани и общую схему соединения граней

 

в поверхность многогранника. К числу таких вопросов относится и вопрос о связи между числами граней, вершин и ребер многогранника, рассмотренный в предыдущем параграфе. Свойства многогранника, связанные лишь с общей схемой соединения его граней, называются комбинаторными или топологическими свойствами многогранника. Остальные свойства многогранника называются его метрическими свойствами; такими свойствами являются, например, величина поверх­ности или объема многогранника, величины его линейных или дву­гранных углов.

Более точно комбинаторные свойства многогранника могут быть охарактеризованы при помощи понятия изоморфизма. Два много­гранника называются изоморфными, если между вершинами, ребрами

и гранями одного многогранника и соответственно вершинами, ребрами и гранями другого можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором инцидентным между собой вершинам, ребрам и граням первого многогранника отвечают инцидентные вер­шины, ребра и грани второго1). Так, например, треугольная призма, треугольная усеченная пирамида и «клин» (рис. 21) изоморфны между собой. О двух изоморфных многогранниках говорят также, что они являются многогранниками одного комбинаторного (или тополо­гического) типа.

Теперь можно сказать, что комбинаторные свойства многогранника — это те его свойства, которые присущи наряду с этим многогран­ником также любому изоморфному ему, т. е. свойства целого ком­бинаторного типа многогранников.

При изучении комбинаторных свойств многогранника мы всегда можем заменить его любым изоморфным ему многогранником, т. е. мо­жем задавать многогранники лишь с точностью до изоморфизма. Чтобы задать какой-нибудь многогранник с точностью до изоморфизма, достаточно перечислить все его вершины А, В, С, ..., ребра а, Ь,

*) Вершины, ребра и грани называются инцидентными, если они при­мыкают друг к другу. Например, ребро и грань инцидентны, если это ребро является одной из сторон рассматриваемой грани.

 

Рис. 21.

с, ... и грани а, р, у, • • - и указать, какие из них являются попарно инцидентными. При этом, разумеется, должны выполняться следующие условия, непосредственно вытекающие из приведенных в § 1 определений простого многоугольника и простого многогран­ника, а также из геометрического смысла отношения инцидентности (мы обозначаем далее отношение инцидентности знаком     так

например, запись   означает, что грань а инцидентна вер­

шине А):

I.          Отношение инцидентности (грани и ребра, грани и вершины, ребра и вершины) симметрично, т. е., например, если a-^-И, то и Л-^а.

II.         Отношение инцидентности транзитивно: если А^а, а^а, то j4-v-a.

III.        Если /l^a, то существуют два и только два ребра, инци­дентных как вершине А, так и грани а.

IV.       Если каждая из двух заданных граней инцидентна каждой из двух вершин, то существует одно и только одно ребро, инциден­тное обеим этим граням и обеим вершинам.

Va. Каждое ребро инцидентно двум и только двум вершинам.

V6. Каждое ребро инцидентно двум и только двум граням.

Via. Для любых двух вершин А и В можно так выбрать ребра av а2, ..., ап и вершины Av Ах, ..., An_v чтобы в цепочке А, ах, Av а2,А2, ..., An_v ап, В каждые два соседних элемента были взаимно инцидентными; если вершины А и В инцидентны одной и той же грани а, то все вершины Ai и ребра а,- можно выбрать так, чтобы они были инцидентными той же грани а.

V16. Для любых двух граней аир можно так выбрать ребра

с,, а2,              ап и грани а,, а2, ..., а„_,, чтобы в цепочке а, av

а,, а2, а2, ..., an_j, ап, р каждые два соседних элемента были взаимно инцидентны; если грани а и Р инцидентны одной и той же вершине А, то и все грани а,- и ребра а{ можно выбрать так, чтобы они были инцидентными той же вершине А.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я