• 5

Теорема 5.

 Если сетка С на сфере состоит из т компонент (т 1), то ее эйлерова характеристика равна т 1.

Доказательство. Ecjm /я=1, т. е. сетка С связна, то утверждение теоремы 5 верно (см. теорему 4). Пусть справедливость теоремы 5 установлена уже при т < т0. Рассмотрим какую-либо сетку С, имеющую тй компонент. Одну из компонент сетки С обо­значим через С', а всю остальную часть сетки С—через С". Тогда сетка С" имеет т0—1 компонент, и потому, по предположению индукции, ее эйлерова характеристика равна /я0, т. е.

В" - Р" + Г" = /»„,

где В", РГ" — числа вершин, ребер и граней сетки С". Пусть теперь /,, /„, .. lq — все ребра сетки С', зану­мерованные таким образом, что при любом k( = 1, . . ., q) ребра /,, . . ., lh образуют связную сетку (ср. дока­зательство теоремы 4). Обозначим через Ck (k= 1, ..q) сетку, состоя­щую из сетки С и ребер /,, ..., lk\ ясно, что сетка Cq совпадает с С.        Рис. 20.'

Индукция, проведенная при доказа­тельстве теоремы 4, без всяких изменений проходит и здесь, и мы получаем, что все сетки С,, ..., С* имеют одну и ту я^е эйлерову характеристику. Но сетка С, получается из С" добавлением одного ребра I , не имеющего с С" общих вершин (рис 20). Поэтому

и-

при переходе от С" к С, число граней не меняется, число ребер увеличивается на 1, а число вершин — на 2. Следовательно, эйле-

"           и

рова характеристика сетки С,, а значит и сетки Cq = C, равна

(В" + 2)—(Р"+ \) + Г" = (В"—Р" + Г)+1=т0+1.

Проведенная индукция и доказывает теорему 5.

Следствие. Для любой сетки на сфере справедливо нера­венство

В—Р+ Г 2,

т. е. эйлерова характеристика любой сетки на сфере не меньше двух.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я