• 5

Случай 1.

 Так как оба конца ребра /А+1 являются вершинами сетки Ck, то число вершин Bh+i сетки Ck+i равно числу вершин Bh сетки Съ\

 

Далее, ребро 1к+1 целиком расположено в одной грани сетки Ch (ибо это ребро не имеет с Ск других общих точек, кроме концов). Обозначим эту грань через G. Ясно, что все грани сетки Ck, кроме G, остаются неизменными при проведении ребра 1к+1, т. е. они являются также гранями и для сегки Ск+1. Число этих граней равно Гк—1, где Гк— число граней сетки Ck. Мы покажем сейчас, что при проведении ребра lk + i грань G разбивается на две грани, откуда будет следо­вать, что число rft+1 граней сетки Ск+1 равно (Гк—1) + 2, т. е.

rk+i=rk+\.

В самом деле, проведем дугу, пересекающую ребро 1к+1, и возь­мем на ней две точки Р, Q, лежащие по разные стороны этого ребра (рис. 17; на этом рисунке грань G заштрихована). Пусть теперь R— произвольная точка грани G, не лежа­щая на ребре 1к+1. Проведем в грани О дугу от точки R до какой-либо точки N ребра 1к+1 и на этой дуге, не доходя до точки N, возьмем близ­кую к ней точку N'. Теперь, идя из точки N' вблизи ребра 1к+1, мы можем подойти либо к точке Р, либо к точке Q (рис.17, пунктирная линия). Итак, любая точка R грани G, не лежащая на ребре /к+,, может быть соединена дугой, не пересекающей 1к+1, либо с       Рис. 17.

точкой Р, либо с Q. Поэтому G разби­вается дугой /А+1 н е более чем на две грани (одна, содержащая точку Р, и другая, содержащая Q).

Однако не может ли получиться, что точки Р и Q также лежат в одной грани (т. е. могут быть соединены дугой, не пересекающейся с сеткой Ск+1), так что при проведении ребра 1к + 1 из грани G мы получим только одну грань сетки Cft+1? Покажем, что этого не может быть. В самом деле, если бы су­ществовала дуга, соединяющая точки Р и Q и не пересекающаяся с сеткой Ch+1, то эта дуга вместе с дугой PQ образовала бы замкну­тую линию, не пересекающуюся с сеткой Ск (рис. 18). Эта замкнутая линия разбивает сферу 5 на две области1), причем концы ребра 1к+1 лежат в разных областях, так как ребро 1к+1 пересекает один раз линию Я. Но так как концы ребра 1к+1 принадлежат сетке Ск, то

 

') Здесь мы пользуемся теоремой Жордана: замкнутая линия, не пересекающая саму себя и расположенная на сфере (или на плоскости), разбивает поверхность сферы (или плоскость) на две области. Доказательство теоремы Жордана для случая замкнутой ломаной имеется, например, в книге А. Д. Александрова [1].

получается, что сетка Ск не пересекается с замкнутой линией А, но у сетки Ck есть вершины, лежащие по разные стороны линии К. Это, однако, противоречит связности сетки Ск. Итак, точки Р и Q не могут быть соединены дугой, не пересекающейся с Ck+l, и потому ребро lk+l разбивает грань G ровно на две части.

Теперь мы знаем число ребер, вершин и граней сетки Ck+X и можем найти ее эйлерову характеристику:

Bk+1- Рл+1 + rk+l = Bk-(Pk+1) ■+ (Гк+ 1)= Вк- Рк+rk.

Итак, эйлерова характеристика сетки Ск+1 равна эйлеровой харак­теристике сетки Ck, т. е., по предположению индукции, равна двум.

 

 

 

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я