• 5

Доказательство.

 Обозначим через /, произвольное ребро сетки С. Через /2 обозначим какое-либо ребро, имеющее с /, хогя бы один общий конец (такое ребро существует, так как если бы к не примыкало более ни одно ребро, то сетка С была бы несвяз­ной). Через обозначим какое-либо ребро, имеющее общий конец

хотя бы с одним из ребер /2. Затем выберем ребро /4 (имеющее общий конец хотя бы с одним из ребер /2, /,) и т. д. Таким образом занумеруем все ребра: /,, /2...,

Сетку, состоящую из ребер /,, /2,..., lk (k^q) и всех вершин, явля­ющихся концами этих ребер, мы обо­значим через Ck. В результате мы определим на сфере S сетки С,, С2,... ■ • •, Cq (причем, очевидно, сетка Сд со­впадает с С). В силу способа нумерации ребер каждая из этих сеток связна.

Рис. 16.         Теперь мы докажем методом мате­

матической индукции, что эйлерова характеристика каждой из сеток С,, С2,..., С? равна двум. Для сетки С, это очевидно: она имеет одно ребро две вершины и одну грань и потому

В—Р+Г= 2 — 1 + 1=2.

Пусть уже доказано, что сетка Ck (k<q) имеет эйлерову харак­теристику, равную двум. Сетка Ck+1 получается из Ck добавлением одного ребра lk+i. Поэтому, обозначив через Pk число ребер сетки Ch, а через Pk+1—число ребер сетки Ck+l, мы получим

В силу способа нумерации ребер хотя бы один конец ребра lk+1 является вершиной сетки Ск.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я