• 5

1.5. Другое доказательство теоремы Эйлера.

 В заключение при­ведем еще одно («топологическое») доказательство теоремы Эйлера. Эго доказательство приводит также к одному обобщению теоремы Эйлера (теорема 5 и следствие к ней), которое мы используем ниже, при доказательстве теоремы Коши.

Пусть М—выпуклый многогранник. Выберем внутри него произ­вольную точку О и проведем сферу S с центром О, целиком заклю­чающую многогранник М внутри себя. Теперь мы спроектируем по­верхность многогранника М из точки О на сферу S. При этом про­ектировании каждая вершина А многогранника М перейдет в неко­торую точку А' сферы S; все эти точки на сфере 5 мы также будем называть «вершинами». Далее, если АВ—некоторое ребро многогран­ника М, то оно при проектировании из точки О перейдет в дугу А'В' большой окружности на сфере 6", где А' и В'—«вершины», в ко­торые переходят точки А и В при проектировании. Каждую такую дугу А'В' мы будем называть «ребром» на сфере S.

Итак, при проектировании многогранника М мы получим на сфере S ■сетку, состоящую из «ребер» и «вершин», причем, очевидно, число «ребер» и число «вершин» этой сетки соответственно равны числу ребер и числу вершин многогранника М. Эта сетка разбивает всю ■поверхность сферы S на части (сферические многоугольники), кото-

') Другой подход к определению рода многогранника и доказательству теоремы Эйлера см. в книге Ж. Ада ма р а(4], указаньой в конце статьи.

рые мы будем называть «гранями». Каждая грань многогранника М проектируется в некоторую «грань» на сфере S, откуда ясно, что число «граней», определяемых на сфере S сеткой «ребер» и «вер­шин», равно числу граней многогранника /И. Итак, на сфере S мы имеем В «вершин», Р «ребер» и Г «граней», и для доказательства теоремы Эйлера было бы достаточно установить, что для любой сетки на сфере справедливо соотношение В—Р+Г=2.

Однако это соотношение справедливо не для любой сетки «ребер» и «вершин», произвольно начерченной на сфере S. Для сетки же, получающейся при проектировании выпуклого многогранника, соотношение В— Р-\- Г— 2 всегда спра­ведливо, так как такие сетки обладают некоторыми специальными свойствами, обеспечивающими выполнение этого соотношения.

Прежде всего дадим точное опреде­ление сетки. Дугой на сфере мы будем называть незамкнутую ломаную, состав­ленную из дуг больших окружностей и не пересекающую саму себя (рис. 15). Сеткой на сфере мы будем называть конечную совокупность точек («вер­шин») и дуг («ребер»), обладающую следующими свойствами

а)         к каждой «вершине» примыкает хотй бы одно «ребро»;

б)         оба конца каждого «ребра» йвляются «вершинами»;

в)         любые два «ребра» либо не имеют общих точек, либо имеют одну или две общие точки, ивлиющиеси их общими концами.

Ясно, что при проектировании вершин и ребер многогранника М из точки О на сферу S мы получаем на сфере 5 сетку. Эта сетка обладает не только свойствами а), б), в), но и многими другими; на­пример, к каждой «вершине» примыкает не менее трех «ребер». Наиболее важным для нас свойством сетки, получающейся при проек­тировании многогранника, является то, что эта сетка связна. Это означает, что, двигаясь по «ребрам» сетки, можно пройти от любой «вер­шины» к любой другой «вершине». Сетка, изображенная на рис. 16, не является связной. Несвязная сетка состоит из нескольких связных кусков (компонент); например, сетка, изображенная на рис. 16, состоит из трех компонент Итак, при проектировании многогран­ника М на сферу 5 мы получаем на этой сфере связную сетку.

Пусть С—произвольная сетка на сфере S. Обозначим через" В число ее «вершин», через Р—число «ребер», а через Г — число об­ластей («граней»), на которые сетка С разбивает поверхность сферы. Число В—Р -f- Г называется эйлеровой характеристикой сетки С.

 

Мы докажем, что справедлива следующая георема, из которой очевидным образом вытекает теорема Эйлера.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я