• 5

Теорема 12.

 Через точку А, не лежащую на прямой I, всегда можно провести хотя бы одну прямую, параллельную I.

Поэтому из аксиомы параллельности следует, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести единственную прямую, параллельную этой прямой.

Аксиома параллельности уже встречалась нам в § 3 как аксиома, эквивалентная V постулату Евклида.

Аксиомой параллельности и завершается список аксиом евклидо­вой геометрии. С помощью этих аксиом и сформулированных выше теорем можно теперь доказывать все теоремы евклидовой геометрии: признаки равенства треугольников (угол определяется как совокуп­ность двух лучей, исходящих из одной точки), соотношения между сторонами и углами в треугольнике, теорему о сумме углов тре­угольника и т. д., и т. д. Доказательства будут по существу те же, что и в школьном курсе геометрии, но более последовательно прове­денные (так как школьные доказательства используют не только аксиомы и указанные выше теоремы, но и нередко используют ссылки на чертеж).

непротиворечивость и полнота аксиоматики евклидовой геометрии 41

Изложенная система аксиом пространства Евклида представляет собой модификацию системы аксиом, предложенной в конце XIX века немецким математиком Д. Гильбертом. Система Гильберта, за исключением некоторых частностей, отличается от изложенной сис­темы тем, что вместо ионятия «движение» Гильберт считает основным понятием1 «конгруэнтность» («равенство»), т. е. то, что с нашей точки зрения можно определить как совместимость с помощью движения, а аксиому Кантора Гильберт формулировал как «аксиому полноты», в силу которой к пространству нельзя добавить новые точки, так чтобы продолжали выполняться все аксиомы. Аксиомы движения были пред­ложены в начале XX века Ф. Шуром.

Таким образом, в изложенной нами системе аксиом основными понятиями геометрии являются точка, прямая, плоскость и движение, которые не определяются, но взаимоотношения между которыми выясняются из аксиом. Возможны и другие системы аксиом простран­ства Евклида, в которых за основные понятия принимаются другие объекты; так, у Гильберта вместо понятия «движение» неопреде­ляемым считалось понятие «конгруэнтности»; в аксиоматике извест­ного русского геометра В. Ф. Кагана за основу бралось понятие «расстояния» и т. д. Пример одной из аксиоматик евклидовой геомет­рии, отличной от изложенной здесь, приведен в статье о векторах в этой книге ЭЭМ (стр. 369 — 370). Разумеется, различные аксиома­тики евклидовой геометрии эквивалентны друг другу, т. е., исходя из одной аксиоматики, можно доказать аксиомы другой аксиома- гики, как теоремы, и наоборот.

Отметим в заключение, что вычеркивая в приведенном выше списке аксиом аксиомы 4°—8°, относящиеся к пространству, мы по­лучим систему аксиом евклидовой плоскости (при этом в некоторых аксиомах надо произвести очевидные изменения; например, следует изменить понятие «репера», выбросив из него полупространство).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я