• 5

1.4. Число вершин, ребер и граней многогранника ненулевого рода.

 Перейдем теперь к многогранникам ненулевого рода. Всякий простой многогранник, не являющийся многогранником нулевого рода, имеет одну или несколько сквозных «дыр» (замкнутых «колец»). Чи­сло таких сквозных «дыр» (или замкнутых колец) называется родом

') По сути дела при таком изложении соотношение Г-\-В—Р = 2 сле­довало бы считать определением многогранника нулевого рода (ибо определения сквозных «дыр» и доказательства соотношения Г + В—Р = 2 для многогранников, не имеющих сквозных дыр, не было дано). Аккурат­ное определение «числа сквозных дыр» и доказательства теорем 2 и 3 про­водятся средствами специальной математической дисциплины, называемой топологией.

многогранника. Многогранники рода 0 уже были рассмотрены выше: пример многогранника рода 1 также уже встречался нам (см. рис. 12, а); примеры многогранников рода 2 и 3 изображены на рис. 13, а, б, в.

Многогранник рода 1 можно получить из двух многогранников рода О, приставив их друг к другу двумя несмежными гранями (рис. 14, а); многогранник рода 2 можно получить из многогранника рода 1, при­ставив к нему таким же образом многогранник рода 0 (рис. 14, б);

 

 

 

в) Рис. 13.

многогранник рода 3 можно получить таким же образом из многогран­ника рода 2 (рис. 14, в). Вообще, многогранник рода р+1 можно получить из многогранника рода р, приставив к нему двумя несмеж­ными гранями многогранник нулевого рода. Выясним, как изменяется при этой операции эйлерова характеристика многогранника.

Пусть к произвольному многограннику            имеющему Г, гра­

ней, fi, вершин и ребер, приставляется многогранник нулевого рода /И2, имеющий Г2 граней, В2 вершин и Р2 ребер (см. рис. 14).

Пусть при этом от-угольная грань а, многогранника /И, совмеща­ется с гранью а2 многогранника Мг и л-угольная грань р,— с гра­нью Pt. Тогда в полученном многограннике М число граней будет

Г=Гл + Г,-4    (2>

(гранями многогранника М будут все грани многогранников Мл и Мя, кроме граней а,, а2, р,, Рг). Число вершин многогранника М будет равно

В = В, -f- Bt — т—л  (3)

вершинами многогранника М являются все вершины многогран­ника /И,, а также все вершины многогранника Мг, за исключением

 

 

 

 

 

Рис. 14.

т вершин грани а2 и л вершин грани Р2). Точно так же число ребер многогранника М будет равно

Р = Р1+Р1_ОТ—л.  (3'>

Из равенств (2), (3), (3') легко найти эйлерову характеристику многогранника М

г+ В—Р= (Г, + Вх -Р.) + (Г, -(- Вг—Р2)—4.

Отсюда, так как многогранник Ж2 — нулевого рода, в силу тео­ремы 2 получаем

Г+В—Р=(Г1 + В1-Р1)-2.

Таким образом, увеличение рода многогранника на 1 влечег уменьшение эйлеровой характеристики на 2. Учитывая, что для мно­гогранников рода 0 эйлерова характеристика равна 2, мы приходим к следующему общему выводу.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я