• 5

Таблица 1

 

Многогранник

г

В

р

Треугольная пирамида (рис. 6, а) ...

4

4

6

Четырехугольная призма (рис. 6, б) . .

6

8

12

Пятиугольная бипирамида (рис. 6, в) . .

10

7

15

Одиннадцатнгранник (рис. 6, г) 

11

И

20

Двенадцатигранник (рис. 6, д) ...

12

18

28

Чтобы обнаружить какую-либо общую закономерность, связыва­ющую число граней, вершин и ребер многогранника, рассмотрим подробнее, например, произвольные призмы и пирамиды. Для л-уголь­ной призмы мы имеем Г=п4- 2, В=2л, Р=3л, а для л-угольной пирамиды Г=п-(-1, £=л+ 1, Р=2л. Если увеличить число л на единицу, то у призмы число граней увеличится на 1, число вершин на 2, число ребер—на 3, а у пирамиды соответственно на 1, 1 и 2. Неизменной при этом остается разность (В+Г) — Р; при любом л она равна 2. Таким образом, для призм и пирамид соотношение между числами Г, В и Р найдено:

Г+В—Р= 2.    (1)

Читатель без труда проверит, пользуясь приведенной выше таб­лицей, что это же соотношение выполняется и для многогранников, изображенных на рис. 6, е, г, д. Мы покажем сейчас, что на самом деле оно справедливо для весьма широкого класса многогранников.

Для этого заметим, что все более и более сложные многогран­ники можно получать из более простых, «приставляя» эти простые друг к другу равными гранями (см., например, рис. 7). Выясним, что будет происходить с величиной Г-\~В—Р, если мы «приставим» к данному многограннику какой-нибудь другой; ограничимся пока

25*

случаем, когда этот второй многогранник является простейшим из всех многогранников —т ет раэ д ро м.

Итак, пусть мы некоторую (треугольную) грань многогранника М совмещаем с равной ей гранью ABC тетраэдра ABCD (рис. 8) так, что при этом вершина D тетраэдра не совмещается ни с одной из вершин многогранника М. Тогда число вершин многогранника М

D

 

 

 

Рис. 7.

Рис.

увеличится на 1 (добавится вершина D), число граней увеличится «а 2 (добавится три новых грани, но пропадет одна грань, совме­щенная с гранью ABC), число ребер увеличится на 3 (добавятся ребра AD, BD, CD). Следовательно, величина Г-|-В — Р не изме нится, так что если соотношение (1) выполнялось для исходно­го многогранника М, то оно бу­дет выполняться и для получен­ного.

Наш результат останется в силе и в том случае, если какая-нибудь грань тетраэдра окажется в одной плоскости со смежной гранью много­гранника М и будет составлять вместе с этой гранью одиу грань полученного многогранника (рис. 9). Тогда в полученном многограннике будет на одну грань меньше, чем у указанного выше, но зато пропадет и одно ребро, так что на значении величины Г-\-В—Р это не отразится. То же самое может про­изойти с двумя или даже с тремя гранями тетраэдра.

Подобным же образом легко проверить, что тот же результат получится, если мы будем тетраэдр прикладывать так, что не одна,

 

Рис. 9.

а две (рис. 10, а) или три (рис. 10, б) его грани совместятся с гранями многогранника М.

Наше рассуждение показывает, что соотношение (1) выполняется для достаточно широкого класса многогранников, во всяком случае

 

 

 

Рис. 10.

для всех выпуклых многогранников. В самом деле, взяв внутри произвольного выпуклого многогранника М любую точку О и соединив

 

Рис. 11.

ее со всеми вершинами многогранника, мы разобьем этот мно­гогранник на некоторое число пирамид с общей вершиной О (рис. 11),

каждую из которых в свою очередь легко разбить на треугольные пирамиды — тетраэдры (с той же вершиной О). Выберем теперь ка- кой-нибудь один из полученных тетраэдров и будем последова­тельно приставлять к нему остальные '), пока не получим исходного многогранника М. Так как при каждом шаге величина Г-j-B—Р не изменяется и так как для начального тетраэдра она равна 2, то и для многогранника М будет

Г+В—Р=2.     (1)

Таким образом, нами доказана следующая

Теорема 1 (теорема Эйлера). Для всякого выпуклого мно­гогранника

Г+ В — Р= 2.

Однако, как видно из приведенного нами доказательства теоремы Эйлера, она должна оставаться справедливой и для многих невыпук­лых многогранников.

Остановимся поэтому подробнее на вопросе о естественных гра­ницах справедливости соотношения (1).

Легко понять, что всякий простой многогранник можно разбить на тетраэдры (так же, как всякий простой многоугольник можно раз­бить на треугольники). Тем не менее соотношение (1) выполняется не для всех многогранников. Дело в том, что при составлении мно­гогранника из тетраэдров для неизменности величины В-f- Г—Р нужно, чтобы каждый раз, когда тетраэдр приставляется одной гранью, про­тивоположная его вершина не совпадала ни с одной из вершин уже построенной части многогранника. Однако имеются многогранники, для которых такого совпадения вершин избежать нельзя; один из таких многогранников изображен на рис. 12,а (см. также рис. 12 б, в). Для этого многогранника, как нетрудно подсчитать, будет В-\~Г — Р = = 12+12 — 24 = 0.

Теперь кажется наглядно ясным, что (простой) многогранник тогда и только тогда может быть нужным нам образом составлен из тет­раэдров, когда он не имеет сквозных «дыр», т. е. не является «коль­цеобразным», как многогранник, изображенный на рис. 12,а, и не содержит таких «кольцеобразных» частей. Такие многогранники, не имеющие сквозных «дыр», называются многогранниками нулевого

') Разумеется, при таком последовательном «приставлении» тетраэдров надо проявлять некоторую осторожность: нужно следить, чтобы в случае, когда мы приставляем очередной тетраэдр одной гранью, противополож­ная вершина тетраэдра не принадлежала уже построенному многограннику. Нетрудно установить, что можно в такой последовательности приставлять тетраэдры, чтобы это условие каждый раз выполнялось; мы предоставляем сделать это читателю.

рода. Итак, теореме Эйлера можно придать следующую более об­щую форму'):

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я