• 5

§ 1. Основные определения. Теорема Эйлера

1.1. Плоские многоугольники. Многоугольником (точнее, плос­ким многоугольником) называется (плоская) замкнутая ломаная ли­ния, т.е. совокупность отрезков Л1Аг, АгА3. ..., An_tAn, AnAx, где Л,, Аг, ..., Ап—различные точки плоскости, не лежащие все на одной прямой. Точки 4,, Аг, ..., Ап называются вершинпми

многоугольника, а перечисленные выше отрезки — сторонами много­угольника. Две стороны, имеющие общую вершину, называются смежными сторонами, а две вершины, являющиеся концами одной и той же стороны, — смежными вершинами многоугольника.

Очевидно, во всяком многоугольнике число вершин равно числу сторон. Наименьшее возможное число вершин многоугольника равно трем. Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, многоугольник с четырьмя вершинами — четырехугольником и т. д.

Многоугольник называется простым, если никакие две его не смежные стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых); в противном случае многоугольник называется самопересекающимся. Так, многоугольники, изображенные на рис. 1, а, б, в, г, простые, а на рис. 1 д, е, ж—самопересекающиеся. Можно доказать, что

каждый простой многоугольник делит всю плоскость на две об­ласти таким образом, что две точки принадлежат одной и той же области тогда и только тогда, когда их можно соединить непре­рывной линией, не пересекающей данного многоугольника *). Одна из этих областей характеризуется тем, что она содержит целиком не­которую прямую линию; она называется внешней областью много­угольника. Другая область называется внутренней областью многоугольника (рис. 2, а, б, внутренние области многоугольников заштрихованы). Внутреннюю область многоугольника часто называют тоже многоугольником *).

') См., например, книгу А. Д. Александрова [1], указанную в списке литературы в конце статьи.

*) Различие между этими двумя определениями многоугольника заклю­чается, таким образом, в том, что первое определение рассматривает мно­гоугольник как линию, а второе—как часть плоскости (т. е. как «площадь»). Разумеется, бессмысленно говорить о том, какое из этих двух определений является более «правильным», — все зависит от того, в связи с решением каких задач рассматривается понятие «миогоуголь-

 

 

 

&

Рис. 1.

Многоугольник называется выпуклым, если для любой его сто­роны все прочие стороны расположены по одну сторону от прямой, на которой лежит данная сторона; так многоугольники, изображенные на рис. 1, а, б—выпуклые, а на рис. 1, в, г, д, е, ж — невыпуклые. Легко видеть, что всякий выпуклый многоугольник является про­стым; обратное, разумеется, неверно: существуют простые невыпук­лые многоугольники (см. рис. 1, в, г).

1.2. Многогранники. Многогранники представляют собой простейшие геометрические фигуры в пространстве, подобно тому, как многоугольники — это простейшие фигуры на плоскости.

Многогранником называется фигура, состоящая из конечного числа плоских многоугольников (называемых гранями многогранника), расположенных в пространстве так, что:

1)         любая сторона каждой из этих граней является стороной еще одной и только одной грани (называемой смежной с первой гранью);

2)         для любых двух граней а и р можно указать такую цепочку граней а,, аг, ..., ап, что грань а смежна с а,, грань а, смежна с аг, .. ., грань ап смежна с Р;

3)         если грани аир имеют общую вершину А, то выбор граней ах, а2, ..., ап, о которых говорится в предыдущем пункте, можно осуществить так, чтобы все они имели ту же вершину А1).

Стороны и вершины граней многогранника называются соответ­ственно ребрами и вершинами этого многогранника.

Если рассматривать грани многогранника как плоские области (это возможно в том случае, когда все эти грани являются простыми

ник». В этой статье наиболее целесообразно считать многоугольником замкну­тую ломаную; в статьях же «Площадь и объем» и «Равносоставленность многоугольников и многогранников», помещенных в кн V ЭЭМ, под многоугольником удобнее понимать часть плоскости.

') Многогранник также можно определять по-разному: можно его представлять себе как «поверхность»; в других задачах (например, в цитированных выше статьях) его удобнее представлять как «часть про­странства» (объем) и т. п.

 

Рис. 2.

многоугольниками), то согласно введенному выше определению мно­гогранник есть некоторая поверхность в пространстве. При этом первое из содержащихся в определении многогранника требований говорит о том, что эта поверхность не имеет границы, т. е. является замкнутой, а второе—о том, что она является связной, т.е. не распадается на две (замкнутые) поверхности; наконец, третье требование исключает из числа многогранников поверхности, подоб­ные изображенной на рис. 3, у которых при одной вершине имеется несколько многогранных углов.

Простейшими примерами многогранников могут служить призмы и пирамиды. Многогранник называется /z-угольной пирамидой, если он

имеет одной своей гранью (основанием) какой-либо л-угольник, а остальными гранями—треугольники с общей вершиной, не лежа­щей в плоскости основания (рис. 4). Треугольная пирамида называ­ется также тетраэдром. Многогранник называется л-угольной призмой, если он имеет двумя своими гранями (основаниями) равные л-угольники (не лежащие в одной плоскости), получающиеся друг из друга параллельным переносом, а остальными гранями — па­раллелограммы, противоположными сторонами которых являются соот­ветственные стороны оснований (рис. 5).

Многогранник называется простым, если:

1)         все его грани являются простыми многоугольниками;

2)         никакие две его несмежные грани не имеют общих точек (внутренних или граничных), за исключением, быть может, одной общей вершины;

3)         две смежные грани имеют только одно общее ребро и не имеют других общих точек.

25 Энциклопедия, кн. 4

 

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис.

Подобно простому многоугольнику, поверхность простого много­гранника делит все пространство на две области. Одна из этих об­ластей характеризуется тем, что она содержит целиком некоторую плоскость; она называется внешней областью многогранника. Дру­гая область называется внутренней областью многогранника; часто внутреннюю область, так же как и ограничивающую ее по­верхность, называют многогранником.

Многогранник называется выпуклым, если все его вершины, не принадлежащие произвольной грани этого многогранника, рас положены по одну сторону от плоскости этой грани. Легко дока­зать (мы предоставляем это читателю), что всякий выпуклый много­гранник является простым и что все его грани являются выпуклыми многоугольниками ').

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я