• 5

Примером множества, удовлетворяющего аксиомам

 1° — 7°, 17°, 18° (т. е. примером я-мерного векторного пространства) может служить множество всех многочленов степени меньшей п с действительными коэффициентами (сложение и умножение на число понимаются в обыч­ном смысле). Другим примером может служить «арифметическая» модель, в которой «векторами» считаются всевозможные наборы (х,, х2, . . ., хп), состоящие из п действительных чисел, а сложение векторов и умножение вектора на число определяются следующим образом: если а=(х,, х2, ..., хп) и b = (yt, уг, .., уп) — произ­вольные два вектора, а % — число, то

а + 6 = (х1 + у,) х2 + у2, ...,х„ + уп), rka = (kxv %х2, .., Кхп).

Система аксиом 1° — 7°, 17°, 18° полна, т. е все и-мерные векторные пространства изоморфны между собой. В математике рассматриваются также. бесконечномерные векторные пространства (в таком простран­стве для любого п существуют п линейно независимых векторов). Подробнее о векторных пространствах читатель может прочитать в статье «Векторные пространства и линейные преобразования», поме­щенной в кн. II ЭЭМ.

Всякое множество R, удовлетворяющее аксиомам 1°—11°, 17°, 18°, называется n-мерным евклидовым векторным пространством. Система аксиом 1°—11°,. 17°, 18° полна, т. е. все/z-мерные евклидовы векторные пространства изоморфны между собой. Например, мно­жество всех векторов на плоскости представляет собой двумерное

евклидово векторное пространство. Моделью /z-мерного евклидова векторного пространства может служить множество всех наборов (л:,, х2, .... хп) п действительных чисел со скалярным произведением, определенным по формуле

(*!•       *я)-(Л. Л. . Уп) = ХгУ> + Х2Уг+ + хпУп

(«арифметическая модель»). Добавление к аксиомам 1°—11°, 17°, 18° аксиом 14° —16° определяет n-мерное евклидово пространство (геометрическое)').

Отметим еще n-мерное аффинное пространство, определяемое аксиомами 1°—7°, 14°—18°. Геометрия этого пространства назы­вается аффинной геометрией.

В /z-мерном евклидовом пространстве можно определить операции над векторами, аналогичные тем, которые рассматривались в этой статье. Сложение векторов, умножение вектора на число и скалярное произведение векторов существенно используются в самом опреде­лении rz-мерного евклидова пространства; связанные с этими опера­циями аксиомы требуют, чтобы свойства всех трех операций остава­лись теми же, что и в случае плоскости или (трехмерного) пространства. Роль тройного произведения векторов в /z-мерном евклидовом про­странстве играет так называемое п-кратное произведение векторов. ставящее в соответствие п векторам

a, = (x, , х2 . . . . , xn ), qz - - (xj , х2 , . - . , хл ), . - • ,

. . . , CLn = (Х, , Х2 , . . . , Хп ). заданным своими координатами в ортонормированном базисе, число

(а,, аг, . .., а„) =

Л(1)     дО) 1 2

х(2)     х<2> 1 2

X»1» п

х<2>

х(п) д-(П)       v(n)

. <о.

Из свойств определителей (см указанную выше статью ЭЭМ) следует, что

(«, + &,. «„) = («,. . ... «„) + (&„ аг, (Аа,, а2,            а„) = А(а,, а2, ..., ап)

и что /г-кратное произведение векторов меняет знак при перемене местами любых двух из них

- оп) = —(а2, а,, as,

a J =

(а,, а2, а3,

Роль векторного произведения в я-мерном евклидовом простран­стве играет так называемое (п—\)-кратное произведение векто-

') См. статью о многомерных пространствах в V кн. ЭЭМ.

евклидово векторное пространство. Моделью «-мерного евклидова векторного пространства может служить множество всех наборов (х,, х2, .... хп) п действительных чисел со скалярным произведением, определенным по формуле

 

*») • 0\. Л.       Уп) = ХгУг + ХгУг + + ХпУп

(«.арифметическая модель»). Добавление к аксиомам 1°—11°, 17°, 18° аксиом 14° —16° определяет n-мерное евклидово пространство (геометрическое)').

Отметим еще n-мерное аффинное пространство, определяемое аксиомами 1°—7°, 14° —18°. Геометрия этого пространства назы­вается аффинной геометрией.

В /z-мерном евклидовом пространстве можно определить операции над векторами, аналогичные тем, которые рассматривались в этой статье. Сложение векторов, умножение вектора на число и скалярное произведение векторов существенно используются в самом опреде­лении rz-мерного евклидова пространства; связанные с этими опера­циями аксиомы требуют, чтобы свойства всех трех операций остава­лись теми же, что и в случае плоскости или (трехмерного) пространства. Роль тройного произведения векторов в /z-мерном евклидовом про­странстве играет так называемое п-кратное произведение векторов. ставящее в соответствие п векторам

С, — (Xi , х2 •

..., А а2 = (х<2>,

• • • у ЛП Ъ • • • »

Л

заданным своими координатами в ортонормированном базисе, число

 

а„ =

Л(1) xw х<2> х(2)

1 г

у(п) у{п)

Х<*> п

х<2> п

х<п>

в кн.

. о„),

Из свойств определителей (см. указанную выше статью ЭЭМ) следует, что

(о,+ 6,, а2, .... ап) = (а1, а2, ..., с„) + (61, а2, (Ха,, а2      а„) = Х(а,, а2, ..., а„)

и что /г-кратное произведение векторов меняет знак при перемене местами любых двух из них

a J =

(а,, а2, а3, ..., а„) = —(а2, а,, а,,

Роль векторного произведения в «-мерном евклидовом простран­стве играет так называемое (п—1 )-кратное произведение векто-

') См. статью о многомерных пространствах в V кн. ЭЭМ.

Заметим также, что из определения /z-кратиого произведения, (п— 1)-кратного произведения и скалярного произведения следует, что

(о,, аг, а, , ал) = а, [а2, а„ ..., а„]

(ср. выше, стр. 355).

Все эти операции над векторами могут быть использованы для вывода теорем, относящихся к я-мерному евклидову пространству.

Наконец, отметим еще одну аксиоматику, также тесно связанную с понятием вектора и играющую важную роль в современной математике. Аксиоматика л-мерного евклидова векторного пространства (1° —11°, 17°, 18°) получается из аксиоматики n-мерного векторного пространства (1° — 7°. 17°, 18°) добавлением аксиом 8° — 1 1°, вводящих скалярное произведение. Если же к аксиомам векторного пространства вместо аксиом 6°—11° добавить нижеследующие аксиомы 8°а — 11°а описывающие вектор ное произведе­ние, то мы приходим к важному понятию алгебры Ли. Таким образом, ал ебр^й JJu называется множество, удовлетворяющее аксиомам 1°—7°, 17°. 18° и следующим четырем аксиомам.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я