• 5

выполнены следующие три аксиомы:

 

14°. Для любой точки М пространства А и любого вектора а существует такая точка N пространства А, что MN=a.

15°. Для любых трех (не обязательно различных) точек М, Л/, Р пространства А выполнено соотношение MNД/P-f- РМ = О

16°. Если MN = 0, то точки М и А/ совпадают.

Аксиомами 1°—16° и исчерпывается аксиоматика геометрии.

Как же в этой аксиоматике определяются прямые, плоскости, отрезки и т. д.? Пусть М и N—две различные точки про­странства А. Прямой MN мы будем называть множество, состоящее из всех таких точек Р, что векторы РМ и PN линейно зависимы. Из приведенных выше аксиом можно вывести, что прямая MN опре­деляется не только точками М и N, но и любыми двумя своими различными точками; поэтому мы можем говорить просто о прямых линиях пространства А. Аналогично определяются плоскости: если М, Л/, Р—три точки пространства А, не лежащие на одной пря­мой, то плоскостью MNP называется множество, состоящее из всех таких точек Q пространства А, что векторы QAl, QN и QP линейно зависимы. Далее мы будем говорить, что точка Р лежит между точками М и N (где Л1=£Л/), если существует такое число А., за­ключенное между нулем и единицей, что MP="k- MN. Наконец, взаимно однозначное преобразование ф пространства А мы будем называть движением, если для любых двух точек М, N скалярный квадрат вектора MN равен скалярному квадрату вектора M'N', где /И'=ф(УИ), АЛ=ф(Л/).

Теперь мы имеем все основные понятия геометрии, описанные в аксиоматике, которая приведена на стр. 32—40. Не очень сложная проверка позволяет установить, что все аксиомы, указанные на стр. 32—40, здесь выполняются, так что приведенная здесь система аксиом 1°—16° также доставляет нам аксиоматику геометрии. В свою очередь из аксиоматики, приведенной на стр. 32 — 40, можно вы­

вести все аксиомы 1°— 16° (если определить векторы так, как это указано в § 1). Таким образом, система аксиом геометрии, приве­денная на стр. 32—40, эквивалентна указанной здесь системе аксиом 1°—16°.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я