• 5

Теорема 9.

 Пусть а, 6, с — произвольный ортонормированный базис и р — произвольный вектор. Тогда существуют такие числа а, р, у, что

р = аа + р& + ус.

Эти числа а, р, у определены однозначно (они называются коор­динатами вектора р в базисе а, Ъ, с).

Доказательство. Так как любые четыре вектора линейно зависимы (аксиома 13°), то существуют такие числа и, X, ц, v, что

пр + Ка + + хс = 0

и среди чисел х, |л, v хотя бы одно отлично от нуля. Если бы число х было равно нулю, то написанное соотношение приняло бы

вид Ка + рб + vC = 0, а это противоречит линейной независимости векторов а, Ь, С (теорема 8). Таким образом, кфО. Умножив обе

1

части написанного выше соотношения на —, мы получаем (исполь­зуя соотношение Я,0 = 0, которое доказывается примерно так же, как теорема 2)

I я , Iх ж. , v „

р + - а + — 6 + — с = О,

г 1 Y.   К ' X

откуда

Таким образом, числа

а                      >-                     ц                                 V

у.' Р у.' ^ у.

удовлетворяют требуемому соотношению p = a.a-\-f>b-\-yc.

Если а', р', у'—другие числа, удовлетворяющие соотношению р = а'а + +f>'b-\-y'c, то, вычитая из одного выражения вектора р другое, мы получим

(a—a')a + (P-P')6 + (Y—=

Отсюда в силу линейной независимости векторов a, b, С (теорема 8) мы находим

a—а' = 0, р — Р' = 0, y—Y' = 0-

Таким образом, числа a, р, y определены вектором р однозначно.

Теперь уже нетрудно доказать полноту аксиоматики 1°—13°. В самом деле, пусть R'— произвольная модель для этой аксиомати­ки. Выберем в R' ортонормированный базис а, Ь, с (теорема 7). Далее, для каждого вектора р (т. е. элемента множества R') мы выберем такие числа a, р, Y' что р = о-аус (теорема 9), и затем поставим в соответствие вектору р тройку чисел (a, р, y)- Мы получаем таким образом взаимно однозначное соответствие между элементами модели R' и -тройками чисел (a, р, y). т- е- элементами арифметической модели. Нетрудно показать, что это соответствие является изоморфизмом. "Действительно, если вектору р соответ­ствует тройка (a, р, y)> 3 вектору р'—тройка (a', P',y')- т- е-

р = аа + р& + Yf- Р' ~ + + у'с,

то мы имеем

р+р' = (аа + р& + ус) + (а'а + + у'с) =

= (а + а')а+(р + р')6 + (Y + YV, и потому вектору р+р'соответствует тройка (а + а', р+р', y + y').

т. е. сумма векторов (a, р, y) и (а'. Р'> в арифметической мо­

дели. Аналогично, вектору hp соответствует тройка (Ха, Ху) = = Х(а, р, у). Наконец, скалярное произведение

рр' = (аа + рб + ус) (а а + р'6 + у'с),

как легко подсчитать (используя соотношения aa = bb = cc = 1, ab = ac=bc = 0 и аксиомы 8°, 9°, 10°), равно аа' +РР' + уу\ т. е. равно скалярному произведению векторов (а, р, у) и (a',J3',y') в арифметической модели. Итак, построенное соответствие между эле­ментами множества R' и элементами арифметической модели сохра­няет сумму векторов, произведение вектора на число и скалярное произведение, т. е. является изоморфизмом. Таким образом, любая модель изоморфна арифметической, и потому система аксиом Г—13° является полной.

Мы уже знаем две модели этой аксиоматики —арифметическую модель и геометрическую (т. е. множество всех векторов трехмерного евклидова пространства, см. § 1). Для сравнения приведем еще две алгебраические модел i аксиоматики 1°—13°. Именно будем называть «вектором» каждый многочлен второй степени с действительными коэффициентами:

ах2 -\-Ьх +с-

Сумму двух «векторов» и умножение «вектора» на число определим как обычное сложение многочленов и умножение многочлена на число. Оче­видно, что при этом аксиомы 1"—7° будут выполнены. Скалярное произве­дение «векторов» определим формулой

(ах2 + Ьх+с) (а'х2 + Ъ'х + с') = аа' + ЪЬ' + сс'.

Без труда проверяется справедливость аксиом 8°—11°. Проверка аксиом 12°, 13° проводится примерно так же, как в арифметической модели. Та ким образом, мы получаем говую модель для аксиоматики 1° —13°.

Еще одну, четвертую модель мы получим из этой третьей модели, по-прежнему считая «векторами» кьадратные многочлены, сохраняя тот же смысл сложения и умножения на число, но водя скалярное произ­ведение по-другому:

1

(ах2 + Ьх + с) (а'х2 + Ь'х + с') = Ц(ах2 + Ьх + с) (а'х2 + b'x+c') dx

и

(под интегралом стоит обычное произведение многочленов). Это скалярное произведение также удовлетворяет аксиомам 8°—11° (что легко прове­ряется), и потому мы действительно получаем еще одну модель аксиома­тики Г —13°.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я