• 5

Теорема 11.

 Если все точки прямой I разбиты на два (непус­тые) класса таким образом, что между двумя точками одного и того же класса не лежит ни одной точки другого класса, то существует точка и притом единственная, принадлежащая лю­бому отрезку, концы которого принадлежат разным классам.

Доказательство. Пусть АЛ и В,—две точки прямой /, при­надлежащие разным классам; класс, содержащий точку Аг, обозначим символом 1, а класс, содержащий точку В,— символом П. Пусть С—

произвольная точка, лежащая между Аг и В, (теорема 2). Отложим

—>

на луче В,/4, отрезок B,D, равный отрезку АгС (теорема 10). Так как AlC<.AxBv то и BlD<AlBl, и потому точка D лежит на отрез­ке Д,В,. Возможны три случая: точка С совпадает с D, точка С лежит между Д, и D, точка D лежит между Д, и С. В первом слу­чае АХС = СВХ, т. е. отрезок Д,С два раза откладывается на отрезке Д,В,. Во втором случае мы имеем: AJC—DBl<CBl, и потому отрезок Д,С не менее чем два раза откладывается на отрезке Д,В,. В третьем случае отрезок AtD не менее чем два раза откладывается на отрезке Д,В,. Итак, в любом случае существует такой отрезок, который не менее чем два раза откладывается на отрезке Д,В,.

Выберем такой отрезок и будем откладывать на луче Д,В, от точки Л, отрезки А1М1, М1Мг, МгМ,,            равные этому отрезку. В

силу аксиомы 16° найдется такое число k, что точка В, лежит на отрезке Mk_lMk, т. е.

A,Mt = ЛуИг= ДуИ3 = ... =

Каждый из отрезков          Ж,Ж2, ...,       а тем более

«остаток» /WA_,B, откладывается на отрезке Д,В, не менее чем два раза.       4

Из условия теоремы легко вытекает, что в последовательности точек Д„ Ж,, М2, ..., Mk_v В, несколько первых (подряд) принад­лежат классу I, а остальные — классу 11. Пусть, например, точка М,

лежит в классе 1, а точка Mi+l—в классе II; тогда мы обозначим точку Мi через Л2, а точку AfI + 1 — через В2. (Если точка Ж, при­надлежит классу II, то за Аг мы примем точку Л,, а за В2— точку /И,; аналогично, если точка    принадлежит классу I, то за Аг

мы примем точку    а за В2— точку В,.)

Итак, мы получили такие две точки Л2, В2, лежащие на отрезке что точка А2 принадлежит классу I, точка В2 принадлежит классу II и отрезок А2В2 откладывается на отрезке      не менее

чем 2 раза.

Исходя из точек Л2, В2, мы аналогичным образом сможем по­строить такие две точки Ла, Bs, лежащие на отрезке А2В2, что точка Ла принадлежит классу I, точка В2 принадлежит классу II и отрезок А2В2 откладывается на отрезке А2В2 не менее чем 2 раза. Следовательно, отрезок откладывается на отрезке А1В1 не менее чем 4 раза, т. е. более чем 3 раза.

Продолжая это построение, мы найдем такие точки Л,, Л2, ... ..., £„ Вг, ...,что при любом п точка Ап принадлежит классу I, точка Вп принадлежит классу 11; кроме того, точки Ап и Вп распо­ложены на отрезке Ап_1Вп_г, и отрезок АпВп откладывается на от­резке AtBt не менее чем п раз.

В силу аксиомы 17ь существует такая точка С, которая принад­лежит отрезку АпВп при любом п. Мы докажем, что точка С является искомой. Прежде всего докажем, что для любой отличной от С точки D, взятой на прямой /, найдется такое п, для которого отре­зок АпВп не содержит точки D (а значит, при mSs/z отрезок АтВт не содержит точки D). Для этого обозначим через п такое нату­ральное число, что отрезок CD откладывается менее п раз на отрезке Л,б, (т. е. при откладывании на отрезке Л,/?, отрезков АХРХ = PtP2 — = P2PS=..., равных отрезку CD, мы получим, что точка fi, лежит между Л, и Рп; существование такого п вытекает из аксиомы 16°). Если бы теперь отрезок АпВп содержал точку D, то (так как этот отрезок содержит и точку С) мы получили бы CD<.AnBn, и потому отрезок АПВп не мог бы п раз откладываться на отрезке Л,Б,, а это противоречит выбору точек Лп и Вп. Полученное противоречие пока­зывает, что точка D не принадлежит отрезку АПВП.

Пусть теперь М — произвольная, отличная от С точка класса 1, а N—произвольная, отличная от С точка класса II. Выберем на­столько большое число я, что ни одна из точек М, N не содержится на отрезке АПВП. Точка М не расположена между Л„ и Вп в силу выбора числа п. Точка Вп не расположена между Ап и М, так как обе точки Ап, М принадлежат классу I, а точка Вп — классу 11. Следовательно, точка Ап расположена между М и Вп (см. аксиому 9°). Аналогично, точка Вп расположена между Ап и N. Из этого следует, что обе точки Лп, Вп расположены на отрезке MN, и потому точка С лежит на отрезке MN (см. теорему 4), т. е. С лежит между М и N.

Итак, если М и N— отличные от С точки, принадлежащие раз­личным классам, то С лежит между М и N. Покажем, наконец, что С— единственная точка, обладающая этим свойством. Пусть D— точка, отличная от С. Пусть, далее, М—произвольная точка, лежащая между D и С, а N—точка, лежащая не в том классе, в котором лежит точка М. Так как точка М лежит между D и С, то отрезок MN не может содержать обе точки С, D. Точку С этот отрезок содержит (ибо М и N принадлежат различным классам); следова­тельно, отрезок MN не содержит точки D: Таким образом, точка D не обладает указанным свойством.

Итак, существует одна и только одна точка С, обладающая тем свойством, что всякий отрезок, концы которого принадлежат различ­ным классам, содержит точку С. Отсюда и вытекает справедливость теоремы.

Теорему 11 иногда принимают за аксиому вместо аксиом Архи­меда и Кантора, которые в этом случае выводятся из этой аксиомы как теоремы; в этом случае эту аксиому называют аксиомой Деде- кинда, так как она по существу совпадает с предложенной Дедекин- дом аксиомой непрерывности поля действительных чисел (см. стр. 31).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я