• 5

7.2. Арифметическая модель векторного пространства.

 Модель для аксиоматики 1°—13° строится очень просто. Вспомним, что введение координатной системы позволяет записывать каждый вектор в виде тройки чисел (х, у, z), причем указанные выше операции весьма прости выражаются в координатах. Мы установили эти факты, используя геометрическую модель системы векторов (см. § 1). Те­перь же мы примем координатную запись векторов в качестве исходного определения. Итак, каждую тройку (х, у, г) действительных чисел (записанных во вполне определенном порядке) мы условимся называть «вектором» и обозначим через R совокупность всех таких «векторов» Далее, сумму двух векторов, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определим формулами:

К. Д',. г,) + (х2,д»2,г2) = (х1-|-х2,    г,+г2),

Л(х, у, z) = (Xx, Ху, Хг), (х„ .у,, zt) (хг, уг, z1)=xlxt+yly1 + ziz1.

Остается проверить, что в этой «арифметической» модели системы векторов выполнены аксиомы 1°—13°. Проверка аксиом 1°—11° не представляет никакого труда. Укажем кратко, каким образом прове­ряются аксиомы 12° и 13Q. Для проверки аксиомы 12° мы установим.

что векторы

(1, 0, 0), (0, 1. 0), (0, 0, 1)

линейно независимы. В самом деле, линейная комбинация этих векто­ров с коэффициентами X, р, v имеет вид

Ml, 0, 0) + р(0, 1, 0) + v(0. 0, 1) = (Х, р, v);

ясно, что эта линейная комбинация обращается в нулевой вектор (0, 0, 0) только при X = p = v = 0, т. е. рассматриваемые три вектора линейно независимы.

Обратимся, наконец, к аксиоме 13°. Возьмем четыре произвольных вектора

(а,, Ьл, с,), (а2, b2, с2), (а,, Ьг, с,), (а4, bt, с J.

Для доказательства того, что эти четыре вектора линейно зависимы, мы должны найти числа х, у, z, t, среди которых хотя бы одно отлично от нуля и которые удовлетворяют условию

х(а„ bx, с,)-Ьу(а2, Ьг, c2)-fz(as, b3, с,)-И К, bt, с4) = (0,0,0) Это соотношение, как легко видеть, равносильно выполнению трех равенств

а,х 4- а2у + asz + aj = 0, blx + b,y + b,g + bj = 0, cix + c2y+c,z+cj= 0.

Таким образом, для проверки аксиомы 13° достаточно установить, что написанная система уравнений имеет хотя бы одно ненулевое решение. Но однородная (т. е не содержащая свободных членов) система уравнений первой степени, в которой число неизвестных больше числа уравнений, всегда имеет ненулевое решение.

Итак, аксиомы 1°—13° в рассматриваемой модели выполняются, и потому приведенная аксиоматика непротиворечива. Рассмотренную модель мы будем называть арифметической моделью векторного пространства.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я