• 5

§ 6. Применения векторного исчисления к сферической геометрии и тригонометрии

6.1. Выражение сторон и углов сферического треугольника с помощью векторов. С помощью векторного исчисления можно весьма изящно дока­зать многие теорема сферической геометрии и тригонометрии.

Будем характеризовать каждую точку А сферы радиуса г ее радиусом-

вектором А с началом в центре сферы (рис. 81). Тогда

\А\ = г  (ЮЗ)

Очевидно, что радиусы-векторы двух диаметрально противоположных точек противоположны, а радиусы векторы двух полярно сопряженных точек1) ортого нальны, т. е. условие диаметральной проти­воположности точек А и В имеет вид

А+В=0,

а условие полярной сопряженности точек А и В имеет вид

АВ = 0.           (104)

Рис 81.          Стороны а, Ь, с сферического треуголь

ника ABC связаны с радиусами-векто­рами А, В, С его вершин очевидными соотношениями

ВС=гг cos — , C4 = /-zcos— АВ = гг cos-,           (1051

г           г           г

| [В. С] | = r2sin-^- , |[С, >4]| = r2sin у |[4, fl]| = r2sln-| (106)

Угол А этого сферического треугольника, т. е. угол между касатель­ными к сторонам Ь и с, проведенным в точке >4, равен углу между пло екостями АОВ и АОС (где О — центр сферы), т е. равен углу между пер­пендикулярными к этим плоскостям векторами [А. В] и \А. С]. Отсюда

') По поводу используемых здесь понятий сферической геометрии см. статью «Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии» в этой книге ЭЭМ (стр. 518—557).

 

следует, что

cos А — [А Я]И.С|_ П07.

С05А-ЦГв]\-\\а, с]|    (107>

и

ни. И\. М. ГЩ

SmA- ЦА, Ь][.\1А.С]\            {{Щ

Из формулы (104) вытекает условие того, что сферический треугольник А'В'С' является полярным по отношению к сферическому треугольнику АВС\ оно имеет вид

АВ' =АС= ВА' = ВС = СА =СВ' =0.           (109)

Пусть вершины сферического треугольника ABC занумерованы в таком порядке, что векторы А, В, С составляют правую тройку, т. е. удовлетво ряют условию (Л, В. С)>0. Тогда векторы А', В' С', идущие к вершинам полярного треугольника А'В'С', выражаются через векторы А. В, С по

формулам

у ■ 1 В. С]      . |С, АI            [А,В\

Действительно, векторы (110) удовлетворяют условию (109); кроме того так как векторы А', В, С, так же как векторы А, В', С и А, В, С', соста вляют правые тройки, то точки А В', С' находятся по ту же сторону от больших окружностей ВС, СА и АВ, что и соответственно точки А, В, С Нетрудно проверить (например, воспользовавшись формулами (83) и (95а)), что тройка векторов А'. В' С' также является правой

Из симметричности формул (109) относительно двух правых троек век торов А. В, С а А'. В', С' видно, что сферический треугольник, полярный по отношению к треугольнику А В'С', совпадает со сферическим треуголь ником ABC

Сторона а' полярного треугольника А'В'С' определяется соотношением, аналогичным первому соотношению (105)

В'С' = г2 cos — , г

откуда в силу (110) и (107) получаем

£l _ _L„'r> _ 1С. Л\ |А, Я] __ [А, В] \А, С] ' —       ~~ 11С. Л] | | [Л fi] I  [А «||-| [А С]|

= — cos Л =cos (я — А)

Аналогично получим

Ь'         с'

cos - — cos В = cos (я—В), cos — =— cos (. =cos (л —С),

откуда видно, что стороны а', Ь', с' сферического треугольника А'В'С' соответств нно равны (л — А) г, (п — В) г и (л — С) г В силу того, что сферический треугольник ABC является полярным треугольником для сферического треугольника А ВС', таким же образом мы находим что сто роны а Ь, с сферического треугольника ABC соответственно равны (л — А') г, (тг — В') г, tл — С') г. Отсюда следует, что углы А', В', С' сферическою

а          Ь         с

треугольника А В С соответственно равны ч , л        , л        -. ,

6.2. Сферические теоремы косинусов и синусов.

Для доказательств а сферической теоремы косинусов1) заметим, что фор­мулу (107) в силу соотношения (96) можно переписать в в иде

, А*-(ВС)-(АВ){АС) t0SA- ЦА.ВЦ-ЦА, СЦ

Но в силу формул (103), (105) и (106, это соотношение можно перепи­сать так:

a          be

cos      cos — cos —

/I          г           г г

cos А =          

Ь . с sin — sin — г г

Отсюда непосредственно вытекает сферическая теорема косинусов-

a          b с , . b с .

cos —=cos — cos    f- sin — sin — cos A

r           r t         r r

Для доказательства сферической теоремы синусов заметим, что формулу <108) в силу соотношения (95а) можно переписать в виде

\(А, А, С)В-(В, А, С) А\ |Д|-|М, Д. OI IM, Я]|-|М, С]| ~\[А, ЯЦ-1М. С]|

Но в сил> формул (103) и (106) это соотношение можно переписать

так:

1 \(А,В,С)\

sin А =

г3 . Ь . с sin — Sill — г г

откуда

sin А 1 \(А, В, С) |

. а г3 a b с sin —      sin — sin — sin —

г           г           г           г

Так как полученное выражение симметрично относительно векторов А, В. С и сторон (I, Ь, с, то этому же выражению равны и отношения sin в sin С         ,

             и         , откуда и вытекает сферическая теорема синусов:

Ь .с sin — sin —

г           г

sin А   sin в _ sin С

. а ~ . b . с sin — sin — sin — г     г           г

Применяя сферическую теорему косинусов к полярному треугольнику А'В'С' и выражая а', Ь', с' чере: ABC а А' — через о, Ь. с, мы, так же как на стр 551, получим двойетьенную теорему коеинусов.

') См. стр. 547.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я