• 5

5.6. Вопрос о единственности тройного и векторного произведений.

 

В заключение остановимся на вопросе о том, насколько необходимым являются именно те определения векторного и тройного произведений, которые были приняты выше; при этом мы, естественно, требуем, чтобы эти «произведения» удовлетворяли тем условиям, справедливость кото­рых и обусловила возможность употребления самого слова «произведение». Рассмотрим какую либо операцию *, сопоставляющую с каждыми двумя векторами а и ft третий вектор а*Ь. Потребуем, чтобы это «произ­ведение» обладало свойством ассоциативности по отношению к умножению вектора на число:

(ка) * b = a* (Xb) = \(a* Ь)    (97)

и свойством дистрибутивности

а * (ft-f с) = а * ft + a * с        (98)

Кроме того, потребуем, чтобы наше «произведение» а * b имело гео­метрический смысл; другими словами, это означает, что если век­торы OA —а и ОВ = Ь могут быть переведены в векторы ОЛ, = а, и OB,=ft, каким-либо движением в пространстве (каким-либо вращением вокруг точки О), то и вектор ОС = а*Ь должен переходить при этом движении в вектор ОС,=а, * ft, (ср. стр 336)

Докажем, что в таком случае «произведение» а*Ь с неизбежностью сводится к векторному произведению [a, bJ

Положим а = аа°, b = bb°, где а0 и b"—единичные векторы Из (97) вытекает

а * Ь = (аа") * (bft°> = (afc) (а0 * ft").

Гаким образом, нам достаточно определить «произведение» единичных век­торов (ср. выше, стр. 337).

Далее, пусть ОР — прямая, перпендикулярная к плоскости единичных векторов OA = а°, ОВ=Ь° (рис. 80). Вращение вокруг прямой ОР на угол в 180° переводит векторы а0 и ft0 в векторы — а" и—ft0; следовательно, это вращение должно переводить вектор а" * b° в вектор (— а") * (— Ь°)= — а" * Ь° (см (97)), т. е. оставлять вектор а0 * Ь° на месте. Но это возможно лишь в том случае, если вектор а" * Ь" принадлежит прямой ОР (т е. перпендикулярен векторам а" и ft0).

Отсюда вытекает, прежде всего, что «квадрат» а0 * а" любого (единич­ного) вектора равен нуль вектору 0

а°*а° = 0.        (99)

В самом деле, если вектор ft0 совпа­дает с вектором а0, то прямую ОР можно выбирать бесчисленным чи слом способов, и вектор а0 * а', ко­торый должен принадлежать всем этим прямым, с необходимостью ока­зывается нулевым. Далее, пусть с" _L о"; тогда «произведение» о0 * с'\ равно Хи°, где и" есть единичный вектор, перпендикулярный а0 и с0. Для определенности мы выберем и0 таким образом, чтобы из его конца вращение на 90° от вектора к век    рис 80.

тору с" наблюдалось проти. часо­вой стрелки. Множитель А, должен

быть постоянным, т. е. одним и тем же для любой пары перпен­дикулярных единичных векторов а" и св самом деле, если aj и с° — два других единичных взаимно перпендикулярных вектора, то вращение, совмещающее пару а", с" с парой а°, cj, переводит вектор Хи" в вектор Хи0,, где и" есть единичный вектор построенный по векторам а° и с° в точ ности так же, как строится вектор а" по векторам о" и с0. Таким образом, имеем

а0 * с" = Хи°. Х=const.        (100)

Теперь остается только разложить любой единичный вектор ft0 по ьек- торам а" и с0, где вектор с0 лежит в плоскости векторов а0 и ft0 и пер пендикулярен вектору о0'

d°=cos (а0, Ь°)■ а0 + sin / (а0. Ь°)-с° (ср. выше, стр 337) Используя теперь (98), (97), (99) и (100), получаем а° * Ь°=cos / (а0, ft°) (а° * а ") + sin / (а0. Ь") а° *с") = Х sin £ (о0, ft0) и",

и, следовательно,

а * Ь = X ab sin (a, ft) • а" = Х [о, ft],

где X— постоянная величина.

Аналогично этому решается и вопрос об определении тройного произ­ведения (а Ь, с) его свойствами ')

Заметим в заключение, что, потребовав от «векторного произведения» а*Ь выполнения условий ассоциативности по отношению к умножению

 

") Ср , например. §§ 2—6 напечатанной в кн. 11 ЭЭМ статьи «Вектор­ные пространства и линейные преобразования».

вектора на число (97) и дистрибутивности (98), мы пришли к произведению [а, ft]. Отсюда следует, что если бы мы дополнительно потребовали от «произведения» а*Ь коммутативности

а * Ь= Ь*а      (101)

или ассоциативности в обычном смысле

a*(b*c) = (a*b)*c,       (102)

то мы не пришли бы ни к какому «произведению» a* ft, отличному от (совершенно неинтересного) «нулевого произведения» а*Ь = 0. Таким об разом, требования (97), (98) и хотя бы одно из требований (101), (102) являются несовместимыми (если только еще требовать, чтобы «произведение» а * Ь имело геометрический смысл)

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я