• 5

Решение.

 Обозначим но-прежнему ОА = а, ОВ= Ь, ОС=с; АВ = с', ВС=а', СА = Ь' (рис. 79). Если высоты АР и BQ тетра­эдра пересекаются, то векторы АР, BQ и АВ лежат е одной пло­скости (и обратно, если эти три век­тора лежат в одной плоскости, то высоты АР и BQ пересекаются). Усло­вие нахождения трех векторов АР, BQ, АВ в одной плоскости имеет вид

 

(АР, BQ, АВ) = 0.

Но АВ=Ь — с; вектор АР имеет на­правление перпендикуляра [Ь, с] к пло­скости 0/?С;вектор BQ имеет направле­ние перпендикуляра [а, с] к плоскости

ОАС. Поэтому условие пересечения высот АР и BQ принимает вид ([Ь, с], [а, с], Ь — с) = 0

[[&, с], |а. с]]{Ь — а) = О

Но согласно (95 а) вектор [[Ь, с], Ic, с]] равен (Ь, а, с) с (ибо (С, а, с) — 0), т. е. параллелен вектору С (и отличен от нуля).

Таким образом, последнее условие равносильно следующему:

с(Ь — а) — 0, или be = ас.

или (см. (83))

. б2 + сг~а'2 а2 + с*—Ь'2 . Заменяя здесь ос и ас на             ^          и         2          Решение за_

дачи 12), получаем

b* + c*—а'г аг + с2—Ь'

, или аг + а'г = Ьг + Ь'г,

что и требовалось доказать.

Этому же равенству равносильно требование, чтобы высоты CR и OS пересекались между собой. Требование, чтобы пересекались высоты АР и CR (а также BQ и OS), равносильно равенству

а2 + а" = с' + с'г.

Высоты BQ и CR (а также АР и OS) пересекаются между собой тогда и только тогда, когда

Ьг + Ь'г = с* + с'г.

Наконец, необходимым и достаточным условием пересечения всех высот тетраэдра в одной точке является выполнение равенств

а2 + а'г = Ьг + Ь'2 = с2 + с'2.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я