• 5

Решение.

 Пусть дан тетраэдр ОАВС (рис. 78). Векторы OA, OB, ОС; АВ, ВС, СА обозначим через а, Ь, с; с', а', Ь'. Дополним тетраэдр до параллелепи­педа OADBCAlDlBl; оче­видно, что объем этого

параллелепипеда будет в 6 раз больше объема тетраэдра (если h есть общая высота тетраэдра и параллелепипеда, опущенная из

вершины С, то VB3p = S0ADB-h; VTtrp = уSoAB■ h и S0AB - ~S0AnB) .

Отсюда получаем

 

 

 

Рис. 78.

^тр = £ I («. I: (VW' = я** c)1-

 

а"

ab

ас

(а, Ь, с)г =

ab

b1

be

 

ас

be

сг

С другой стороны, очевидно,

c' = b — a, a'=c — b,            b' = a — c.

Поэтому

.2 о , , 2 „,       а2 + <>2— с"

с = о — zab -а , ab = —                  

и аналогично

ас =

 

be

b*+c*—a'z

2 • — — 2

Таким образом, окончательно имеем

а' + Ь'—с'2 а2 + с2—Ь'г

(а, Ь, С)2 =

a2 + fc2—с"

2 ft1

а' + с2 —Ь'1 b* + c*—a"

Ьг + с*—а'г 2

с2

2а1 аг + Ьг-с'1 аг + сг-Ь" а*+Ьг-с'г 2b* tf + S-a'* a* + c* — b'* Ьг + с2 —а" 2с1

■и. следовательно.

^тетр — 2е8

2 а1

аг+Ь*

аг + Ьг — с" а2 + с2-0'г 2Ь2          Ьг + сг — а'г

аг + сг~Ь,г Ь1 -f- с2 —а'

2сг

Эта формула родственна элементарной формуле Герона (стр. 346), выражающей площадь треугольника через длины его сторон.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я