• 5

5.4. Двойное векторное произведение.

 В качестве примера на использование формулы (92) докажем с ее помощью следующее тож­дество:

[с, [a, Ь\\ = (Ьс)а—(ас)Ь.     (94,

Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы направление оси х совпадало с направлением вектора а; в качестве плоскости хОу выберем плоскость, содержащую векторы а и Ь; направление оси z при этом уже определится. В таком случае координаты век­торов a, Ь, с будут иметь вид: (х, 0, 0); (хг ух, 0) и (хг, _ys, zs). Вектор [а, Ь\ будет в силу (92) иметь координаты (0, 0, хух), а вектор [с, \а, Ь]\ будет в силу той же формулы (92) иметь коорди­наты а (лгу^),—xi(xyl), 0). Таким образом, мы нашли координаты вектора, стоящего в левой части соотношения (94). Далее, согласно (50а) мы имеем

be = x,jc2 + ухуг, ас = хх2,

и потому вектор (be)а имеет координаты (x(x,xs-f ytyt), 0, 0), а вектор (ас)Ь — координаты (х,(хх2), _у,(хх2), 0). Отсюда, наконец, следует, что вектор (be) а—(ас) b имеет координаты(х(у,уг)—■д>1(хх2),0). Таким образом, векторы, стоящие в левой и правой частях соотно­шения (94), имеют одни и те же координаты, и потому соотно­шение (94) справедливо.

Заменяя в соотношении (94) обозначения векторов, получим

|а, [6, с]] = (сс)6—(ab)c, [•b, [с, a\\ = (ab)c—(bc)a.

(94а) (946)

Складывая теперь все три соотношения (94), (94а), (946), мы полу­чаем соотношение (90), которое, таким образом, также доказано.

Докажем еще следующие соотношения, которые понадобятся нам в следующем параграфе:

[[а, Ь], [с, d\\ = (a, с, d)b—(b, с, d)a,           (95a)

Ца, Ъ\, \с, d]\ = (a, Ъ, d)c—(a, Ь, c)d,        (956)

\а, Ь] [с, d] = (ac)(bd)—(ad)(bc).     (96)

Соотношение (956) легко вытекает из соотношений (94) и (83): \[а, Ь\, [с, d\\ = (\a, b]d)-c—([a, b]c)-d = (a, b, d)c — (a, b, c)d, Далее, из соотношений (956) и (85) вытекает (95а): [[а, Ь\, [с, d]] = — [[с, d\, [а, Ь]] = — (с, d, b)a + (c, d, a)b =

= (a, с, d)b — (b, с. d)a. Наконец, формула (96)-вытекает из (83), (81) и (94):

[а, Ь\ [с, d\ = (а, Ь, [с, d]) = (b, [с, d], а) = |b, \с, d\] а =

= \(bd) с — (be) d)a = (bd)(ac) — (be) (ad).

5.5. Примеры. Рассмотрим теперь несколько задач, иллюстрирую­щих применения тройного и векторного произведений в геометрии.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я