• 5

Формула

 

(a, Kb, с) = К(а, Ь, с)

следует отсюда очевидным образом, если использовать антикоммута­тивность тройного произведения:

(a. Kb, c) = —(Kb, a, c) = — K(b, а, с) = Ма, Ь, с).

Аналогично устанавливается соотношение (a, b, Кс) = К(а, Ь, с).

Установим теперь, что векторное произведение [a, b] ассоциа­тивно по отношению к умножению любого вектора-сомножителя на численный множитель:

[Ка, Ь}= [а, КЬ] = К\а, Ь].      (87)

В самом деле, имеем

\Ка, b\c = (Ka. b, с)=К(а, b, с) = К\а. Ь] с.

Но если векторы [a, b] = N и [Ка, Ь\ = МЛ таковы, что при любом векторе с имеем

Л1,с= KNc. т. е. (М, — KN)c = 0.

то, очевидно,

Mt = KN, т. е. \Ка, Ь] = К\а. Ь]. Отсюда, используя антикоммутативность векторного произведения, сразу получаем и равенство [а, КЬ] = К[а, Ь\.

Наконец, докажем дистрибутивность тройного произведения:

(a, b, с, + с2) = (а, b, c,) + (a, b, ct) (88)

и аналогично

(a, bt + bt, c)= (a, &„ c) + (a, 62, c), (a,-(-a2, b, c) = la,, b, c) + (a2, b, c).           (88a)

В силу дистрибутивности скалярного произведения, очевидно, имеем (a, b, с, + с2) = [а, 6](с, + с2) = |а, &]£,+ |а, с2=(а, 6, с,)+(а, b, с2).

Формулы (88а) выводятся из формулы (88) с использованием анти­коммутативности тройного произведения; так

(а. Ь, + Ьг, с) = — (а, с, 6, + 6s) = —(а, с, Ьх) — (а, с, 62) =

= (а, 6,, с) + (а, 62, с).

Докажем также н дистрибутивность векторного произведения: [а, &, + &,] = [а, М + [а. 6J, [а, + аг, 6] = [а„ 6] + [а2, 6]. (89) Ясно, что достаточно доказать лишь первую из формул (89). Но [а, 6, + 6г]с = (а, + с) = (а, 6,, с) + (а, Ьг, с) =

= [а, ftjc+ta, 62]с = ([а, 6,] + [а, &2])с

для любого вектора с. Отсюда: [a, 61+6J] = [a, 6J + [а, 62|

Заметим еще, что ассоциативность векторного произведения для умножения трех векторов места не имеет: вообще говоря,

[|а Ь\, с\Ф\а, [6, с])

Например, если i, j—два взаимно перпендикулярных вектора (рис. 77), то мы имеем

[[*, Л. Л = [ft. Л= — i- и- и, Л] = [». 01 =0.

Ассоциативность векторного произведения заменяется следующим своеобразным тождеством:

[а, \Ь, с]] + \Ь, [с, а\\ + [с, [а, &]] = 0            (90)

связывающим «двойные векторные произведения» |а. \Ь, С||, \Ь, \С, а\] и [с, [а, Ь]\ одних и тех же векторов а, 6 и с взятые с разным порядком расстановки ско­бок. Тождество (90) носит название тождества Я ко б и; мы его докажем ниже.

Нетрудно понять, что соотношения (85), (86) ц (87) можно довольно просто вывести из самого определе­ния тройного и векторно­го произведений По-иному обстоит дело с соотношениями дистрибутивности (88) — (88а) и (89) — здесь выбранный нами довольно длинный путь доказательства этих свойств вряд ли можно сократить.

Из доказанных свойств тройного и векторного произведений вы­текают правила перемножения сумм векторов, родственные обычным правилам раскрытия скобок:

(2а + 36, 2с d — 5е) = 4(а, с, d) — 20 (а, с, е) + 6 (Ь, с, d)—30 {b, с, е) или

[4а—6, c-f 3d] = 4 [а, с]+ 12 [а, d\ — [6, с] —3[6, d].

Однако при этом приходится учитывать антикоммутативность трой­ного и векторного произведений — в частности то, что векторное произведение двух одинаковых множителей («векторный квадрат») всегда равно нулевому вектору и тройное произведение трех множи­телей, по крайней мере два из которых одинаковы, всегда равно нулю:

[а, а] = 0, (а, а, Ь) = (а, Ь, а) = (&, а, а) = (а, а, а) = 0.

 

Учитывая антикоммутативность, имеем, например.

(а-+ 6, б-fc, с + а) = (а, 6, с) + (6, с, а) = 2(а, 6, с)

или

[с+26, 36 — а] = 3[а, 6]—2 [6, а] =5 [с, 6].

Найдем теперь выражения для тройного и векторного произведе­ний в координатах. Пусть векторы а, 6 и с имеют координаты (х, у, z), (xv у„ г,) и (х,, z2), т. е.

От векторов i, У, Л, направленных по осям координат, мы потребуем только, чтобы объем построенного на них параллелепипеда был равен 1 и чтобы этот параллелепипед был ориентирован положительно:

(/, j,k)=+ 1.

В таком случае имеем

(а, 6, c) = {xi+yj+zk, xj + yj+zfi, xj + yj+z^k)^ = хУ\гг -Л k) + xzlyt(i, ft, У)-(-yxxz2(У, i, ft)-f

+ yzlx1(j, ft, i) + zxxyx{k, i, j) + zyxxt(k, / i),

или, окончательно,

(a, 6, =            +          yxxzs—zyxxt. (91)

Для того чтобы найти выражение для векторного произведения векторов а и 6, потребуем, чтобы система координат была декарто­вой прямоугольной и к тому же правой, г. е. чтобы было

[», J'\ = k, [У, ft] = i. [Л, i\ =j

(см. рис. 77). При этом получаем

|с, 6] = [*i+y/ + *fe, + + =

= ху, [i, /1 + xz, ft, k\+yxxU, i] -f yzx [j, ft] + zxx [ft, i\ + zyx[k, j],

или, окончательно,

[a. b\ = (yzl — zyl)i + (zx1—xzl)j+(xyl—yx1)k.      (92)

Таким образом, векторное произведение векторов а и 6 с координа­тами (х, у, z) и yv zx) имеет координаты

(yzi—zyv zxx—xzv xy^—yxj.

 

X

У z

(а, 6. с) =

 

Л

 

*2

У« **

Формулу (91) можно принять за определение тройного про изведения векторов. Если записать ее в виде

(91а)

то мы узнаем в ней известное геометрическое истолкование опреде­лителей третьего порядка как объемов ориентированных параллеле­пипедов1). При таком определении антикоммутативность (Ь,а,с) = = —(а, 6, с), ассоциативность по отношению к умножению вектора на число (ка, Ь, с) = к(а,Ь,с) и дистрибутивность (а, + а2, 6, с) = = (а,, 6, с) + (аг, 6, с) тройного произведения векторов становятся следствиями известных свойств определителей третьего порядка:

 

У,

z.

 

X

У

г

 

х У

г

= —

Хх

Ух

г,

 

хг Уг

г2

 

Хг

Уг

гг

кх

ку

кг

 

X

У

г

X

Ух

 

= к

Хх

Ух

 

X

Уг

z2

 

хг

Уг

z2

 

 

y(1' + y(2>

г(,) -f- z(s)

 

xw

yi 1)

Z«>

 

хт

ут

г<2>

 

Ух

г,

=

Хх

Ух

г,

+

Хх

У,

z,

*2

Уг

Ч

 

Хг

Уг

z2

 

хг

Уг

z2

 

X, У, Z,

 

л») if('> zO)

 

хг у3 Z,

 

Х<2> (/!> 2(2)

=

г/а

 

ЛГ<»> z<»>

 

Из известного правила умножения определителей третьего порядка 1 *,*•»>+ihj/W + z,^" je^W + j^j/W + z,*») jr,jt(»+0,0<>> + z,zW ЛЛ1>+|Ы/<,> + *.*«,> *3jr(i> + J/„yW+ZjZGl К2x<»>+»,(/<»+ zaz(»> ty/n + z^lD x^W + iijiW + z^m *3лг(5> + 1,.^»>+z,z(»>

получаем также

В частности,

 

 

аа,

аб,

ас.

6, с)-(а,, 6„

?.)=

6а,

 

6с,

 

 

са,

сб,

СС,

 

а2

ab

ас

 

 

(а, 6, c)s =

аб

68

 

 

 

ас

сг

 

 

(93)

') См. в кн. II ЭЭМ статью «Векторные пространства и линейные пре­образования»

s) Ср., например, кн. 11 ЭЭМ, стр. 96.

Эта формула является «трехмерным аналогом» формулы (71') преды­дущего параграфа (см. стр. 345).

Формулу (92) также можно записать с использованием определи­телей третьего порядка:

i j ft

|a, b\

У Уг

(92а)

Стоящий справа определитель», можно разложить по элементам первой строки:

J У У.

ft

z г.

У г

i—

X z

J+

X у

 

 

Л

 

х, г,

X, У,

ft.

(926)

Формулу (92) (или (92а) — (926)) можно принять за определение векторного произведения; из нее нетрудно вывести все его свойства.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я