• 5

5.3. Свойства векторного и тройного произведений.

 Разумеется, уместность употребления в применении к вектору N= |а, Ь\ названия «векторное произведение» обусловливается не полученной таким путем возможностью представлять тройное произведение векторов как повторное, а сходством свойств «векторного произведения» [а, Ь\ с произведением чисел (а также со скалярным и с косым произве­дениями векторов). К выводу этих свойств векторного произведения мы сейчас и перейдем.

Заметим прежде всего, что в силу формулы (81) и коммутатив­ности скалярного произведения (см. формулу (47) стр. 328) мы имеем

(а, b, с) = (Ь с, а) = \Ь, с]а = а\Ь, с);           (84)

таким образом, тройное произведение векторов а. b и с равно также скалярному произведению первого вектора а на вектор­ное произведение двух последних векторов b и с.

Перейдем теперь к выводу свойств тройного произведения и век- горного произведения. Мы уже видели, что тройное произведение (а, b, с) антикоммутативно (см. (81)). Отсюда немедленно вытекает, что векторное произведение (а, Ь\ антикоммутативно:

[с, &] = — \Ь. а).        (85)

В самом деле, из антикоммутативности тройного произведения и формулы (84) следует

I а. b\c = (a. Ь, с) = —(Ь, а, с) = — \Ь. а\с.

Как мы видим, два вектора |a &] = 7V и [&, а| = М таковы, что для любого вектора с имеет место соотношение: Nc = — Мс, или, что то же самое. (Л1 -(- N) с = 0. Таким образом, вектор        должен

быть перпендикулярен любому вектору с, что невозможно при M-j-/V=/=0 Следовательно, /W-|-/V=0, т. е. М = —N, а это и есть соотношение (8">).

Докажем теперь, что тройное произведение (а, 6, с) ассоциа­тивно по отношению к умножению любого из векторов-сомно­жителей на численный множитель:

(Ха, Ъ, с) = (a. Xb, с) = (а, b, Хс) = Х(а. Ь, с).      (86)

Из формулы (84) и ассоциативности скалярного произведения имеем (Ха, b, c)=(Xa)\b, с\ = Х(а\Ь, с|) = Я-(а. Ь. с).

') В литературе тройное произведение (а, Ь, с) называется также часто смешанным произведением. Это последнее название имеет в виду то, что для образования произведения (с, Ь, с) надо использовать два разных вида умножения векторов — векторное и скалярное.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я