• 5

5.2. Векторное произведение и его связь с тройным произве дением.

 Прежде чем идти дальше в исследовании свойств тройного произведений (а, 6, с), обсудим несколько более тщательно его строение. До сих пор произведение трех множителей (например, abc, где а, b, с — три числа, или а(а, 6), где а—число, а а и Ь—век­торы) встречалось у нас лишь как повторное произведение — сперва перемножались два из наших трех множителей, а затем ре­зультат умножался на третий множитель. Естественно задать себе вопрос о том, нельзя ли и тройное произведение трех векторов предста­вить как повторное?

Выше мы имели лишь один вид «произведения» двух векторов простран­ства—скалярное произве­дение. Но скалярное про­изведение сопоставляет с двумя векторами число; если это число затем умно­жить на вектор, являющийся третьим сомножителем, то мы получим неко­торый вектор, а между тем окончательный результат тройного про­изведения должен быть числом. Иначе обстояло бы дело, если бы в результате перемножения двух первых сомножителей мы полу­чили бы не число (скаляр), а вектор, — тогда, умножив этот вектор на последний сомножитель скалярно, мы могли бы получить число, как нам и требуется. Итак, если мы хотим представить тройное про­изведение векторов в виде повторного произведении, то нам необхо­димо использовать не только скалярное произведение векторов, но еще и некоторое новое, «векторное» произведение, которое в резуль­тате «умножения» двух векторов дает снова вектор.

Постараемся сообразить, как может выглядеть такое «векторное произведение». Объем параллелепипеда OADBCAJD^B^, построенного на векторах ОД = а, ОВ=Ь и ОС = с, равен произведению площади его основания OADB на высоту. Но высота параллелепипеда h есть не что иное, как проекция вектора 0С = с на вектор п, перпендику­лярный к плоскости основания (рис. 76). Таким образом, по абсо­лютной величине произведение (а, Ь, с) равно площади построенного на векторах а и Ъ параллелограмма OADB, умноженной на величину проекции вектора с на вектор п; знак же произведения (а, Ь, с) будет положительным или отрицательным в зависимости от того, в какую сторону от плоскости OADB направлен вектор с.

Пусть площадь параллелограмма OADB равна а; в таком случае

мы имеем     . . .

|(а, Ь, с)| = а |прпс|.

23 Энциклопедия, кн. 4

Если мы направим вектор п в такую сторону от плоскости OADB, что вращение от положительного направления вектора а к положительному направлению вектора Ь (на угол, меньший 180°^) наблюдается из конца п происходящим против часовой стрелки, то величина (а, Ь, с) будет положительной или отрица­тельной в зависимости от того, направлены ли векторы с и п в одну сторону от (перпендикулярной п) плоскости OADB или в разные стороны. Поэтому при таком выборе вектора tl мы можем отбросить знаки абсолютной величины в последней формуле и написать

(а, Ь, с) = а - прис    (82)

(ср. с определением проекции вектора на другой вектор, стр. 320).

Формула (82) очень напоминает по своему строению формулу (44) из § 3 (стр. 328). Ясно, как перейти от нее к представлению трой­ного произведения (а, Ь, с) в виде скалярного произведения двух векторов. Обозначим через N вектор, направление которого совпа­дает с вектором п, а длина равна о. = S0ADB; в таком случае a = N, прпс = пр^с и формулу (82) можно будет переписать сле­дующим образом:

(а. Ь, c) = yV-npftrc.

Теперь в силу определения (44) скалярного произведения получаем-

(а, b, c) = Nc.

Условимся теперь называть вектор N векторным произведением векторов а и Ь; обозначать его мы будем через [a, bJ. В силу всего сказанного выше векторное произведение \а, Ь\ векторов а и b определяется следующими тремя условиями'.

а)         абсолютная величина (длина) вектора [a, b] равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь; если векторы а и b принадлежат одной прямой, то [a, b] = 0;

б)         вектор [a, b] перпендикулярен плоскости, определяемой векторами а и b (т. е. перпендикулярен обоим этим векторам);

в)         вектор \а, Ь\ направлен в такую сторону, что из его конца вращение на меньший 180° угол, совмещающее направление вектора а с направлением вектора Ь, представляется происхо­дящим против часовой стрелки.

Таким образом, мы записали тройное произведение (a, Ь, с) как повторное:

(а, Ь, с) = [а, Ь] с,     (83)

или, словами: для того чтобы составить тройное произведение (а, Ь, с) векторов a, b и с, надо прежде всего образовать век­

торное произведение |а, Ь\ первых двух векторов, а затем ум­ножить его скалярно на третий вектор с1)

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я