• 5

§ 5. Тройное произведение и векторное произведение векторов пространства

5.1. Ориентированные объемы и тройное произведение. Перей­дем теперь к случаю векторов в пространстве. Роль параллело­грамма в пространственной геометрии играет параллелепипед; поэтому естественно вместо площади S (а, Ь) ориентированного па­раллелограмма, построенного на двух векторах а и Ь плоскости, рассматри­вать объем V(a, b, с) ориенти­рованного            параллелепипеда OADBCAxDxBx, построенного на трех векторах ОА = а, ОВ = Ь, ОС=с пространства (рис. 74). При этом прилагательное «ориентиро­ванный» означает, что объем па­раллелепипеда мы считаем поло­жительным, если вращение векто­ра а на меньший 180° угол, совме­щающее его направление с направлением вектора b, наблюдается из конца вектора с происходящим против часовой стрелки (рис. 75. а; такие параллелепипеды мы будем называть положительно ори- ентированными!; V (а, Ь, с) считается отрицательным, есля вращение

 

Рис. 74.

 

Рис. 75.

на меньший 180° угол, совмещающее направление вектора а с на­правлением вектора Ь, наблюдается из конца вектора с происходя­щим по часовой стрелке (рис. 75, б; такие параллелепипеды мы будем называть ориентированными отрицательно). Если векторы а, Ь и с принадлежат одной плоскости, то объем V(a, b, с) естест­венно считать равным нулю.

Определенную таким образом величину V(а, Ь, с) мы будем называть тройным произведением векторов а, Ь и с; далее мы

всюду будем обозначать ее через (а, Ь, с). Таким образом, здесь мы впервые встречаемся с весьма своеобразным «произведением»— в нем фигурируют не два «сомножителя», как обычно, а обязательно три (векторных) «сомножителя» a, b и с. Несмотря на это обстоя­тельство, за величиной V (а, Ь, с) = (а, Ь, с) оказывается удобным оставить название тройное произведение — и не только в силу близости этой величины к косому произведению векторов плоскости, употребление для которого названия «произведение» мы уже можем считать привычным, но в первую очередь в силу того, что величина (а, Ь, с) обладает, как мы увидим несколько ниже, целым рядом свойств, родственных свойствам обычного произведения чисел (а также свойствам скалярного и косого произведений векторов).

Нам будет удобнее несколько отложить вывод большинства свойств тройного произведения. Здесь мы только отметим, что в силу определения, тройное произведение (ненулевыхJ векторов а, b и с равно нулю в том и только в том случае, если все векторы принадлежат одной плоскости (аналогично тому как косое произ­ведение двух векторов плоскости равно нулю в том и только в том случае, если эти векторы принадлежат одной прямой). Отметим еще, что тройное произведение антикоммутативно, т. е. меняет знак при перестановке любых двух сомножителей:

(a, b, с) = — (Ь, а, с) =— (а, с, Ь) = — (с, b, а).

Действительно, по абсолютной величине все выписанные тройные произведения равны объему одного и того же параллелепипеда и поэтому одинаковы Далее (a, b, с) = — (Ь, а, с), ибо если враще­ние от вектора а к вектору b наблюдается из конца вектора с про­исходящим против часовой стрелки, то вращение от вектора b к вектору а наблюдается из конца с происходящим по часовой стрелке и наоборот. Менее очевидно соотношение (а, Ь, с) = —(а, с, Ь); однако, чтобы его доказать, достаточно проверить, что вращение от вектора а к вектору с наблюдается из конца вектора b происхо­дящим по или против часовой стрелки в зависимости от того, имеем ли мы V(a, 6, с) > 0 (черт. 75, а) или V(a, b, с) < 0 (черт. 75, б). Точно так же проверяется и соотношение (а, Ь, с) = — (с, 6, а)

Тройные произведения (6, с, а) и (с, а, Ь) могут быть получены из произведения (а, Ь, с) путем двукратной перемены местами двух «сомножителей»: сначала меняем местами а и Ь, а затем либо с и а, либо cub. Отсюда следует, что (Ь, с, а) = (а, Ь, с) и (с, а, Ь) = (а, Ь, с). Таким образом, мы приходим к следующему соотношению, которое является наиболее полным описанием свойства антикоммутативности — тройного произведения:

(а, Ь, с) —- (Ь, с, а) = (с, а, Ь) = — (Ь, а, с) = — (а, с, Ь) = —(с, 6, а).

(81)

 

Рис. 76-

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я