• 5

4.5. Вопргс о единственности косого произведения.

 В конце предыду­щего параграфа мы видели, что скалярное произведение векторов пло­скости однозначно определяется условиями (54), (55). (56) и сше одним естественным требованием (57), гаключак щимся в том, что две «равные» (т. е. переводимые одна в другую движением) пары ректоров должны иметь одинаковое «произведение». В этом параграфе мы отказались от условия (54) и пришли к косому произведению векторов, торенным образом отличающемуся от скалярного произведения по своим свойствам. Естест­венно, однако, поставить вопрос о том, нельзя лн найти иные «произве­дения» векторов плоскости, обладакшие столь же простыми свойствами как скалярное и косое произведения, но отличные от них обоих?

Нетрудно показать, что всякое «произведение» aob векторов плоско­сти, обладающее перечисленными в конце предыдущего параграфа (стр. 336) свойствами

(Xa)ob = ao(kb) = l(aob),     .           (55)

a°(b + c) = aob + aoc            (56)

и свойством

aob = a,ob„    (57)

где пары векторов a, b и а,, Ь, «равны» друг другу, сводится к скаляр­ному произведению i косому произведению. В самом деле, из условия (55) по-прежнему следует

а° b=ab-(a°оЬ°),       (58)

где векторы а° и Ь° единичные и

acoa°=6 = const.      (60)

Кроме того, если а" и с"—два таких единичных и взаимно перпендику­лярных ректора, что / (а0, с")= +90°, то произведение а" о б\ дет иметь некоторое постоянное (т. е. одно и то же для всех таких пар векторов а", с0) значение б:

а" о с" — е= const,  (79)

поскольку любые две такие пары а0, с" и а°, можно перевести одну в другую движением.

А теперь, разлагая произвольный единичный вектор Ь" по векторам а0 и с", где с°= 1, / (а0, с0)— +90°, получим (ср. стр. 337)

а° о Ь° = а" о [cos / (а0, b") а0 + sin / (о0, Ь") с"] =

= cos / (а0, Ь") • (а0 о а") + sin (a0, Vs) -(а0 о с0),

откуда в силу (58), (60) и (79) имеем

йо6 = ba'o cos (a, ft)4-e absin/_(a, b) = 6(ab) + e(axb). (80)

') В нашем рассуждении мы считали, что точки Р, Q и R сущест­вуют (прямые AL, ВМ и CN не параллельны между собой). Более точная формулировка теоремы Чевы такова: условие (78) имеет Metmo в том и только в том слцчаг, если прямые AL, ВМ и CN пересекаются в одной точке и^ш все параллельны между собой.

Таким образом, каждое «произведение» векторов обладающее свойствами (55) — (57), сводится к комбинации (80) скалярного и ко­сого произведений с некоторыми постоянными коэффициентами б и е. Ясно, что из всех таких «произведений» лишь скалярное является коммутативным (ср. выше, стр 338) и лишь косое является антикоммута­тивным.

Отметим еще в заключение, что все наши рассуждения проводились в предположении, что две пары векторов а, Ь и а„ ft, на плоскости, пере­водимые одна в другую движением в пространстве (именно так в кон­це § 3 мы переводили друг в друга пары векторов а0, с" и —а", с"), но ие переводимые друг в друга движением на плоскости, не считаются равными. Таким образом, здесь мы рассматриваем еометрию, в которой,

скажем, две симметричные от носительно прямой фигуры (рис. 73; такие фигуры нель­зя перевзсти одну в другую движеиием, оставляющим их в плоскости) не считаются одинаковыми. Свое проявле­ние этот подход находит в том, что в рассуждениях мы свободно пользовались поня- В' тием направления вра­щения: угол (а, Ь) мы считали положительным или отрицательным в зависимости от того, каково направление вращения на меньший 180° угол, переводящего направ ление а в направление ft (см. стр 339—340). Ясно, что если не различать между собой также и симметричные фигу­ры (и вообще произвольные фи-уры, переводимые одна в другую движением в пространстве), то понятие «направление вращения» становится бессодержательным — ведь при симметрии относительно прямой направление вращения угла меняется на обратное (рис. 73). Плоскость, на которой задано определенное направление вращения углов, принимае­мое за положительное, называется ориентированной плоскостью1). Таким образом, скалярное произведение векторов определяется на неориентиро­ванной плоскости2); косое же произведение векторов можно определить лишь на ориентированной плоскости.

 

А'

Рис. 73.

') Другими словами, ориентированная плоскость — это поле действия «геометрии», изучающей свойства фигур, сохраняющиеся при движениях первого рода (собственных движениях), в то время как обычная, или не ориентированная, плоскость рассматривается как поле действия геометрии, изучающей свойства фигур, сохраняющиеся при произвольных движе­ниях (ср. § б статьи «Геометрические преобразования», а также стр. 524—526).

2) Разумеется, ничто не мешает нам и на ориентированной плоскости рассматривав и скалярное произведение векторов (ср. с замечанием на стр. 341 о смысле символа £ (а, Ь) в определении (45) скалярного произ ведения).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я