• 5

4.3. Дальнейшие свойства косого произведения.

 Мы до сих

пор не дали полного доказательства формулы (67). Для того чтобы сделать это, заметим, что косое произведение векторов можно свести к скалярному произведению (других!) векторов:

axb = [a\b,      (72)

где вектор [а]1) получается из вектора а поворотом на 90° в поло­жительном направлении (в направлении, обратном направлению вра­щения часовой стрелки; рис. 68). Это сразу следует из формул (45) и (69): в самом деле, очевидно, что если [а] есть длина вектора [а],

то

[а\ = а и / ([а], Ь)=/_ (а, Ь) — 90°, cos / ([а], b) = sin ^ (о, Ь).

Отсюда следует, что

[а] Ь = [а] Ъ cos ([а], Ъ) — ab sin (а, b) = axb.

А теперь имеем

а х (b -f с) = [а] (Ь + с) = [а] b + [о] с = а х b + а х с,

что и требовалось доказать

Выведем еще выражение для косого произведения двух векторов в координатах. Пусть (х, у) и (х,, у,) — координаты векторов а

и Ь; при этом единичные векторы i = 0£, и j=OEt, направленные но осям координат, выберем так, чтобы было

(рис. 69; здесь у нас нет необходимости требовать, чтобы оси коор­динат Of, и ОЯ2 были обязательно взаимно перпендикулярны или чтобы оба отрезка Of, и ОЕг были равны единице длины). В таком случае, очевидно, имеем

axb = (xi + yj)x (xxi + ухJ) =

= (»" х i) + xy, (i xj) + yxx {Jx i) + yy, (Уху).

') Обозначение [Я] для вектора, получаемого из вектора а поворотом на 90°, с первого взгляда может показаться несколько вычурным; однако оно согласуется с обозначениями, введенными ниже, на стр. 354 и 379.

 

Рис. 68.

Рис. 69.

iXj=S(OEt, ОЕг)= 1

А так как ixi=jxj= 0 и согласно условию ixj=—jxi — 1, го получаем

axb = xy1 — yx1.      (73)

Формулу (73) можно также принять за определение косого произведения. Из нее сразу получаем:

Ь ха= ухг—хул = —аУ(Ь, а х (Ь + с) = х (у, + _у2)—у (Xl + х2) = (ху, — ухх) + (ху2 — ух2)

= axb + axc

(здесь вектор с имеет координаты (х2, у2)) и

а х (ХЬ) = х (Хух) — у (Ххх) = X (хух — yxx) = X(axb)

(ср. выше формулы (66) — (68)).

Равенство (73) можно переписать так:

axb =

х х, Ух

(74)

в таком виде оно равносильно известному геометрическому истолко­ванию определителя второго порядка как площади ориентированного параллелограмма, построенного на векторах, координаты которых совпадают со столбцами определителя '). При этом свойства (66)—(68) можно будет истолковать как (хорошо известные) свойства опреде­лителей

ах 6= -бхо, ибо ах(й + с) = ах6 + ахс, ибо (Ха) xb = X(ax Ь), ибо

X xt

 

xt X

У Ух

 

Ух У

* +

У Ух+Уг Хх хх 'ху Ул

X Xj

1

X Х2

У Ух

 

У >2

= х

х хг У Уг

Наконец, формулу (71) можно истолковать как правило возведения определителя в квадрат*):

(«X6N 2= ^    = а! =а2Ьг — (abf

У У, xxi + yy, х\+Уг ab Ьг     v '

(71')

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я