• 5

4.2. Аналогия между косым и скалярным произведениями.

 Известный параллелизм между косым и скалярным произведениями, выражающийся в близости формул (4G) и (67), (49) и (68), а также то, что

если ab — 0, то a_|_ft (и если a _|_ft, то ab = 0); если axb=0, то а || Ь (и если а || ft, то axft = 0),

влечет за собой известный «параллелизм» между понятиями перпендику лярности и параллельности, позволяющий в некоторых теоремах заменять слово «перпендикулярный» словом «параллельный» и наоборот без нару­шения истинности теоремы. В качестве примера укажем следующее не­сложное предложение: если треугольники АБС и А,В С, таковы, что пря­мые, проведенные через вершины треугольника А ВС пеР"аралШ^^но соответ­ствующим сторонам треугольника /4,6,0, (т. е. через вершину А перпенди­кулярно или пераллельно стороне В,С, и т. д.), пересекаются в одной

точке О. то и прямые, проведенные через вершины треугольника Л,£,С, "еРпари?!е^1ноН° соответствующим сторонам треугольника ABC. пересекаются в одной точке О, (рис. 67, а, б). Для того чтобы не повторять два раза одни и те же выкладки, мы условимся обозначать через aob скаляр ное или косое произведение векторов а и ft.

В

 

Обозначим ОЛ =а, ОВ = Ь, ОС = с, ОЛ, = а„ ОВ, = й„ ОС, = с,. В та­ком случае из условия теоремы следует

ao(b1—cl) = 0,

т. е.

aobl = aoc1   (а)

и, аналогично,

ftoc, = ftoa„    (б)

с о а, = ео(?,.            (в)

Далее, пусть 00, —г, где О, есть точка пересечения прямых, проведенных через вершины Л, и В, перп^ра^ьнГ° прямым ВС, соответственно СЛ; нам надо доказать, что 00,-Lab. Из определения точки О, имеем

(ft—с)о(а,—г) = 0, т. е. бой,—coa,=bor—cor,     (г)

(с—а)о(Ь,—г)= 0, т. е. сой,—aob1 = cor—аог.  (д)

Складывая равенства (г) и (д) и используя то, что в силу (а) — (в) boa, = boc„ coa,=coft,, aob,=aoc,, получаем hoc,—aoc, = bor—аог, или (Ь—а) о (с,—г) = 0, откуда и вытекает утверждение теоремы.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я