• 5

§ 4. Косое произведение векторов плоскости

4.1. Ориентированные площади и косое произведение векто­ров. До сих пор мы все время рассматривали одновременно векторы па плоскости и векторы в пространстве; различия между этими двумя случаями были для нас весьма несущественными. Далее, однако, мы будим рассматривать геометрию на плоскости и геометрию в про­странстве раздельно, поскольку в разбираемых здесь вопросах различие между той и другой сказывается очень сильно В этом параграфе мы будем говорить лишь о векторах на пло­скости.

Вспомним определение скалярного произве­дения. Скалярное произведение ab двух векто­ров а и b есть число, сопоставляемое опре­деленным образом с этими двумя векторами. Геометрический смысл этого числа не слишком прост — он дается формулой (45) или почти столь же искусственной формулой (44). Цен­ность скалярного произведения (и уместность употребления в применении к этому числу слова «произведение», обычно имеющего совсем другой смысл) определяется лишь свой­ствами (47), (48), (49) скалярного произведения, весьма похожими на привычные свойства умножения чисел. Здесь мы определим еще одно «произведение векторов», обладающее почти столь же простыми свойствами.

Ясно, что сопоставить число с двумя векторами можно весьма разнообразными способами.

Так, например, можно объявить этим числом площадь построен­ного на векторах а и b треугольника ОАВ или параллелограмма OADB (рис. 61). Однако предложение назвать площадь 6oadb новым

 

Рис. 61.

«произведением» векторов а и Ь представляется с первого взгляда мало обоснованным.

Проверим все же, не обладает ли величина Sof\DB (обозначим ее, скажем, через Sa ь) свойствами, аналогичными свойствам (47)—(49) скалярного произведения. Ясно, прежде всего, что

Sa,b = Sb,a-  (61)

Но уже простое свойство (49) скалярного произведения переносится на величину Sa, ь лишь в том случае, если множитель Я, является положительным

s%a, Ь = хь = ь при "к > О, но siat ь = sa- м =

= IMSe.ft = — t-Sa.b при Х<0 (62)

(см. рис. 62).

Для того чтобы исправить это положение, условимся рассматри­вать площадь ориентированного параллелограмма, построен­ного на векторах а и Ь, т. е. считать площадь OADB положи­тельной, если вектор b расположен слева от вектора а (при этом

Рис. 62.

мы смотрим в направлении вектора а), и отрицательной в против­ном случае. Другими словами, можно сказать, что площадь OADB

Рис. 63.

считается положительной, если направление вектора а можно совме­стить с направлением вектора Ь вращением вектора а против часовой стрелки на угол, меньший 180°, (рис. 63, а), и отри­цательной, если направление вектора а переходит в направление вектора Ь при вращении вектора а по часовой стрелке на 22*

угол, меньший 180° (рис. 63, б). Если, наконец, вектор ft принадле­жит той же прямой, что н а, то площадь построенного на а и на & «параллелограмма» естественно считать равной нулю. Эту новую вели­чину мы обозначим пока че-

7 /

/

/

/

/

/

/

/

 

рез S(a, Ь).

Нетрудно видеть, что для величины S (а, Ь) уже имеет место правило, ана­логичное свойству (49) ска­лярного произведения:

а

Пара (а,Ь)

а

Пара [Ь а)

5(Ла, ft) = 5 (а, Aft) = =KS(a,b) при любом А (63)

Рис. 61.

(ибо ориентация построенно­го на векторах Аа, b пли на векторах а, Kb параллелограмма при А > 0 будет совпадать с ориен­тацией исходного параллелограмма OADB, а при А<0 будет проти­воположна ей; см. рис. 62, а — д). Однако теперь уже простое правило (61) заменяется более сложным

S(b, а) = —S (а, Ь) (64)

(ибо построенные на векторах a, b       ^

и на векторах ft, а параллелограммы / /\\         £ /

имеют противоположную ориентацию;           (

см. рис. 64).

Обратимся теперь к свойству (48) скалярного произведения. Мы утверж­даем, что аналогичное свойство имеет место и для величины S(а, 6):

5 (a, ft + с) = S (a, b) + S (а, с). (65)

Рис. 65.

Полное доказательство этого равенст­ва мы пока отложим; здесь же мы

лишь проверим его для частного случая, когда все величины 5(а, 6), «Ь (а, с) и 5(а, Ь-\-с) положительны. В самом деле (рис. 65),

S(a,b) + S(a,c)=S0ADB -Soaec = Soadb $bdnm =

= $oadnmb =sqanm = s(a, ft + C)

(ибо s&obm = £дadn, поскольку треугольники OBM и ADN равны).

Можно было бы доказать соотношение (65), рассмотрев анало­гично случай, когда величины 6'(a, ft), S(a.C) и i(o ft + c) имеют всевозможные знаки, но мы не будем этого делать j приведем ниже совершенно другое доказагельсгво.

 

Равенства (63), (64) и (65) уже дают основания для того, чтобы присвоить величине S(a,b) название «произведения». Эту величину называют косым произведением ') векторов а и Ь и обозначают через а X Равенства (64), (65) и (63) теперь можно переписать так:

ахь=—            (66)

аХ(НО = оХНаХс;    (67)

(Ха)ХЬ = аХ(Щ = Ь{аХЬ).   (68)

Таким образом, косое произведение является ассоциативным по от­ношению к умножению вектора на число (см. (68)) и дистрибутивным относительно сложения векторов (см. (67)), но не коммутативным, а ан­тикоммутативным (так выражают словами равенство (66)). Заметим также, что известная формула для площади параллелограмма и прави­ло определения знака произведения axb позволяют утверждать, что

а X b = ab sin /_ (а, b),        (69)

где под /_(а,Ь) теперь надо понимать ориентированный угол между векторами а и Ь, т. е. угол, знак которого определяется, как в тригонометрии (угол ^/(о, 6) = ф положителен, если направление вектора а совмещается с направлением вектора Ь вращением на угол ф в направлении против часовой стрелки, и отрицательным, если вектор а принимает направление вектора Ь при вращении на угол ф по часовой стрелке). То обстоятельство, что в формуле (45) мы под / (а, Ь) понимали неориентированный угол между а и Ь, т. е. что в двух соседних формулах мы одним и тем же символом обозначаем разные величины, не должно нас смущать, ибо можно считать, что и в формуле (45) угол (а,Ь) является ориентированным (ибо cos(—a)=cosa).

Из формулы (69) вытекает, в частности, что косое произведение двух векторов а и b равно нулю в том и только в том случае, когда один из этих двух векторов нулевой (в этом случае о на­правлении этого вектора вообще не приходится говорить), или когда векторы а и b параллельны (и, значит, угол ф равен О или 180°). В частности, «косой квадрат» вектора всегда равен нулю:

аХа = 0.         (70)

Это обстоятельство часто оказывается важным. Отметим еще сле­дующее простое соотношение, связывающее скалярное и косое про­изведения двух векторов:

(аЬ)г + (а X ЬУ = агЬ2 (= агЬ2);    (71)

это соотношение сразу следует из формул (45) и (69)

Относящиеся к косому произведению правила (66) — (681 позво­ляют раскрывать скобки при косом умножении сложных комбинаций

') В литературе употребляется также термин псевдоскалярно- произ. едеиие.

векторов. Например,

{а + 2ft—Зс) X (2d—5<?) =

= 2а X d—5а X е + 46 X d— 10ft X 6с X d+ 15с X е.

Надо только иметь в виду, что замена свойства коммутативности умножения антикоммутативностью заставляет изменять знак каждый раз при изменении порядка перемножаемых векторов. Это приводит к своеобразному искажению знакомых из обычной алгебры формул:

(а—й)х(о + й) = охо-|-ох6—ftxa—ftxft=axft—bxa = 2axb

ибо axa = bxb = 0). Рис. 66 иллюстрирует эту последнюю фор­мулу: площадь параллелограмма OEFG, построенного на диагоналях ВС=а—b и AD=a-{-b параллелограмма ABDC в два раза больше

В

 

Рис. 66.

площади самого этого параллелограмма. Заметим еще, что условие равенства нулю косого произведения двух векторов влечет за собой недопустимость «сокращения» равенств, в которых разные векторы косо умножаются на один и тот же (векторный) множитель: из ра­венства

axc=ftxc

следует лишь, что (с—6)хс = 0, т. е. что либо один из «множи­телей» а — b и с равен нулю, либо а — ft||c.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я