• 5

3.8. Единственность скалярного произведения.

 В заключение этого параграфа остановимся еще на следующем вопросе. Определения (44) или (45) скалярного произведения могут показаться довольно случайными: естественность их не мотивирована никакими достаточно убедительными соображениями. Впрочем, простые свойства (47), (43), (49) скалярного про изведения убеждают нас в целесообразности изучения этой операции. Однако заранее не ясно, не существует ли других столь же «хороших» «произведений векторов», т. е. других способов сопоставить с двумя векто рами а и b число aob (здесь кружочек символизирует неизвестную нам пока операцию «умножения векторов»), с тем чтобы выполнялись аналогич­ные (47) — (49) условия:

а о Ь = Ь о а\            (54)

(\а)оЬ = ао(Щ=Х(аоЬ)-,       (55)

ao(ft + c) = coft + coc.          (56)

Естественно, что кроме правил (54)—(56) желательно потребовать еще, чтобы число aob имело геометрический смысл т е. обладало тем свойством, что если пара векторов OA—а и ОВ=Ь нравна* паре векто ров 0АХ— а, и OBi — b, (т. е. может быть переведена в последнюю движе­нием) '), то

aob=alobl.     (57)

Покажем, что в случае геометрии в пространстве уже условия (55), (56) и (57) почти однозначно приводят к скалярному произведению векто­ров. На плоскости же дело обстоит иным образом: здесь, для того чтобы выделить скалярное произведение векторов, существенно необходимы все четыре условия (54)—(57). В следующем параграфе мы рассмотрим отлич нор от скалярного «произведение» векторов плоскости, удовлетворяющее условиям (55) — (57), но не условию (54)

1) Ср. статью «Геометрические преобразования», п В 1.

Ясно, прежде всего, что если а — аа?, b = bb°, где векторы а" и Ь° единичные (имеют длину 1), то в силу (55)

aob^(aa0)o(bb°) = ab (а°оЬ°).        (58)

Таким образом, достаточно определить произведение единичных векто­ров. Далее, если векторы а" и с" еди ичные и взаимно перпендику-

 

Рис. 59.         Рис. 60.

ОС,—с" (одна из них переходит во вторую при вращении вокруг ОС на угол 180°). Поэтому в этом случае в силу (57) и (55)

а°ос°=(— а0) о = — (а0ос°),

и, следовательно,

а"ос° = 0.       (59)

Кроме того, в силу того же условия (57) «квадрат» а" о а" любого единич­ного вектора а0 будет иметь одно и то же значение б:

а°оа° = б.       (60)

Пусть теперь ОЛ = а° и OC = ft°—два произвольных единичных вектора, угол между которыми равен / (a0, ft°) (рис. 59). Если В, и й2—проекции точки В на прямую OA и иа перпендикулярную ей (и лежащую в плоско­сти ОАВ) прямую ОС, то, очевидно,

&0=Ш,+ОВ2 = cos /_ (a0, &°)-a° + sin (с0, ft0)-с».

где с0—единичный вектор направления ОС. В силу (56), (55), (60) и (59) получаем

а» о ft0=а0 о I cos _ (а0, Ь") ■ а0 + sin / (аft0) • е°] =

= cos / (а°, ft0)-(а0о а0) + sin /_ (а\ ft0)-(a°oc0) = 6 cos / (а°, ft0).

Учитывая еще (58), получаем для произвольных векторов а и ft

aob = b-ab cos /_ (a, ft).

Таким образом, мы пришли к выражению, отличающемуся от скалярного произведения (45) двух векторов лишь произвольным (но фиксированным!) множителем 6.

22 Энциклопедия, кн. 4

В нашем рассуждении мы нигде не использовали равенства (54). Однако если рассматриваются векторы не в пространстве, а на плоскости, и соот ветственно этому «равными» считаются лишь пары векторов, переводимые одна в другую движением в плоскости, то заключение о том, что пары векторов а\ с' и —а\ с" (где а' = с'=1, a'J_r,J) «равны» между собой, будет уже неверно. В этом случае «равны» лишь пары а', с0 и с\ —с' (они получаются одна из другой вращением на 90° вокруг общего начала О векторов; см. рис. 60). Отсюда следует, что

а0ос'=с''о(—с°) = — (с0 о а").

и если имеет место также условие (54). то снова получаем

с°ог° = — (а>ос>). т. е. а"ос° = 0.

Если же ье требовать выполнения условия (54), то доказать равенство (59» нельзя (см ниже, стр. 349—350).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я