Задача 9.
Пусть ABCD—произвольный «четырехвершинникъ; KL и MN—его «средние линии», соединяющие середины «сторон» АВ и CD, AD и ВС, ф—угол между «диагоналями» АС и BD Доказать, что
(АВ* + CD2)—(AD2 4. ВС) = 2 (KL2— MN2) = ЧАС■ BD■ cos <p
Другими словами: а) Если стороны АВ, ВС, CD и DA четырехугольника ABCD равны а, Ь, с и d, диагонали АС и BD равны е и f и угол между диагоналями есть <р, то
а2 — Ь" 4- с2 — d1 = lef cos ф =
= 2 (KL2—MN2),
где KL и MN—средние линии четырехугольника (рис. 57). Отсюда, в частности, вытекает, что следующие три свойства четырехугольника ABCD эквивалентны между собой (т. е. из выполнения любого из них следует, что выполнены и два других свойства):
1) диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны;
2) средние линии четырехугольника равны между собой;
3) сумма квадратов двух противоположных сторон четырехугольника равна сумме квадратов двух других его сторон.
б) Если противоположные ребра АВ и CD, AD и ВС, АС и BD треугольной пирамиды (тетраэдра) равны а и at, Ь и с и с,, а угол между ребрами АС и BD равен ф, то
(а2 4- с2) — (ft2 4- b\) = 2сс, cos ф =
= 2 (KL" —MN2),
где MN и KL — отрезки, соединяющие середины противоположных ребер АВ и CD, AD и ВС (рис. 58).
Из этой теоремы, в частности, вы- Рис. 58. текает эквивалентность следующих
трех свойств тетраэдра ABCD:
1) противоположные ребра АС и BD перпендикулярны между собой;
2) отрезки MN и KL, соединяющие середины ребер АВ и CD, AD и ВС, равны между собой;
3) суммы квадратов противоположных ребер АС и BD, AD и ВС равны между собой.