Задача 9.

 Пусть ABCD—произвольный «четырехвершинникъ; KL и MN—его «средние линии», соединяющие середины «сторон» АВ и CD, AD и ВС, ф—угол между «диагоналями» АС и BD Доказать, что

(АВ* + CD2)—(AD2 4. ВС) = 2 (KL2— MN2) = ЧАС■ BD■ cos <p

Другими словами: а) Если стороны АВ, ВС, CD и DA четырехугольника ABCD равны а, Ь, с и d, диагонали АС и BD равны е и f и угол между диаго­налями есть <р, то

а2 — Ь" 4- с2 — d1 = lef cos ф =

= 2 (KL2—MN2),

где KL и MN—средние линии че­тырехугольника (рис. 57). Отсюда, в частности, вытекает, что следу­ющие три свойства четырехуголь­ника ABCD эквивалентны между собой (т. е. из выполнения любого из них следует, что выполнены и два других свойства):

1)         диагонали четырехугольни­ка взаимно перпендикулярны;

2)         средние линии четырехугольника равны между собой;

3)         сумма квадратов двух противоположных сторон четырех­угольника равна сумме квадратов двух других его сторон.

б) Если противоположные ребра АВ и CD, AD и ВС, АС и BD тре­угольной пирамиды (тетраэдра) рав­ны а и at, Ь и с и с,, а угол между ребрами АС и BD равен ф, то

(а2 4- с2) — (ft2 4- b\) = 2сс, cos ф =

= 2 (KL" —MN2),

где MN и KL — отрезки, соединяющие середины противоположных ребер АВ и CD, AD и ВС (рис. 58).

Из этой теоремы, в частности, вы- Рис. 58.    текает эквивалентность следующих

трех свойств тетраэдра ABCD:

1)         противоположные ребра АС и BD перпендикулярны между собой;

2)         отрезки MN и KL, соединяющие середины ребер АВ и CD, AD и ВС, равны между собой;

3) суммы квадратов противоположных ребер АС и BD, AD и ВС равны между собой.