• 5

Задача 8.

 Доказать, что сумма квадратов «диагоналей» АС и BD произвольного ше ты ре хв ер шинник а» ABCD равна сумме квад­ратов его «сторону АВ, ВС, CD и DA, уменьшенной на учетверен­ный квадрат отрезка, соединяющего середины Е и F «диагоналей», т. е.

АС + BD* = АВг + ВС1 + CD1 + DA1 — 4 EF\.  (53)

Другими словами:

а) Если стороны АВ, ВС, CD и DA (плоского) четырехуголь­ника равны а, Ь, с и d, а диагонали АС и BD равны ей/, то

a2 -J- Ь* + с2 + d2 = е' +/2 + 4ЕЕ',

где EF— отрезок, соединяющий середины диагоналей четырехуголь­ника (рис. 5+; ср. с известной теоремой о том, что в параллело­грамме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диаго­налей).

 

 

 

 

X

Рис. 54.

а,

Sc

\

с, у

Ь,

Рис. 55.

б) Fcau противоположные ребра А В и CD, AD и ВС, АС и BD треугольной пирамиды (тетраэдра) ABCD равны а и a,, b и bt, с и с , то отрезок EF, соединяющий середины ребер АС и BD

(рис. 55), определяется из фор­мулы

4EF* = а2 + а] + Ь* + Ъ\ — с2 — & Решение. Положим АВ=а, AD = b, AC=d (рис. 56). Тогда

BC=d — a, DC=d—b, DB=a — b;

 

Рис. 56.

далее

AE = jd, AF=±(a + b)y

и, следовательно, получаем, что

EF=AF-AE = -^ (a + b—d).

Теперь равенство (53) можно переписать в виде

d' + (a-b)t = a' + (d-a)' + (d-b)t + b'-4{a + b-dy,

и для его доказательства достаточно раскрыть скобки в левой и пра­вой частях написанного векторного равенства.

 

Рис. 57.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я