• 5

Задача 7.

 Доказать, что если в произвольном «четырехвер- шиннике» ABCD противоположные «стороны» АВ и CD, AD и ВС взаимно перпендикулярны, то перпендикулярны и «диагонали» АС и BD.

Здесь мы снова имеем две совершенно разные задачи в зависи­мости от того, лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости или они расположены в пространстве. В первом случае наше утверждение гласит: если АВ }_CD, ADJ^BC, т. е. CD и AD суть высоты тре­угольника ABC (рис. 52), то BD J_ АС есть третья высота треуголь­ника, другими словами, мы приходим к теореме о том, ч го три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Во втором случае мы утверждаем, что если противоположные ребра АВ и CD, AD и ВС

треугольной пирамиды (тетраэдра) ABCD перпендикулярны между собой, то этим свойством обладает и третья пара противополож­ных ребер АС и BD (рис. 53).

 

 

 

Рис. 52.

Рис. 53.

Решение. Пусть Q—произвольная точка. По условию имеем 74В.CD = 0 или (QB—QA)(QD — QC) = 0, т. е.

QB-QD— QB-QC— QA-QD+QA-QC=0   (51)

и

~AD-BC = 0, или (QD—QA) (QC— QB) = О,

т. е.

QD■ QC— QD- QB— QA-QC+ QA-QB= 0. Сложив равенства (51) и (52), получаем

QC-QD + QA • QB— QC- QB— QA • QD = 0,

(52)

или

или, наконец,

(QC— Q/4) (QD — QB) = 0, AC-BD = 0,

что и доказывает теорему.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я