• 5

3.6. Определение и свойства скалярного произведения.

 Пусть теперь а и Ь—два произвольных вектора. Скалярным произведе­нием вектора а на вектор Ь называется число д-пра6; оно обозна­чается символом aft:

аЬ = а-х\раЬ.            (44)

Это определение теряет смысл, если с = 0, так как в этом слу чае направление вектора а не определено; однако в этом случае а = 0, и скалярное произведение ab считается равным нулю.

Из формулы (34) следует, что скалярное произведение можно также определить формулой

aft = ab cos (a, ft),     (45)

где через (a, ft) обозначен угол между векторами а и ft.

Если а=&, то скалярное произведение ab принимает вид ас; его называют скалярным квадратом вектора а и обозначают также символом а*. Из (45) вытекает, что скалярный квадрат вектора а равен квадрату его длины:

а1 = аг.           (46)

Далее, из (45) непосредственно следует, что скалярное умножение коммутативно (перестановочно)-.

ab = ba.          (47)

Наконец, из (44) легко вытекает также дистрибутивность (распре­делительность) скалярного умножения:

a (ft + с) = ab + ас     (48)

и его ассоциативность (сочетательность) по отношению к умно­жению вектора на число:

(ka)b = l(ab) = a(Xb).            (49)

В самом деле, в силу (29) и (30) мы имеем

а(Ь +с) = а-пра (Ь с) = а• (пра Ь + пр„ с) = = а• пр0 6 + а прac = ab + ас\ a (Kb) = а ■ пра Kb = а (X - пр„ Ь) = К ■ (а-пр0 Ь) = К (ab).

Соотношения (46) — (49) выражают свойства скалярного умно­жения. Мы добавим к ним еще одно свойство: если а и b—отлич­ные от нуля векторы, то равенство аЪ = 0 имеет место тогда и только тогда, когда векторы а и b перпендикулярны между собой. Это непосредственно вытекает из формулы (45).

Свойства (47)—(49) скалярного умножения очень похожи на хорошо знакомые правила действий с числами. Из этих свойств вытекает, что действия над векторами во многих случаях можно производить в точности так же, как и действия над числами. Например,

(2а + Ь) (3c—d) = (2а + Ь) (Зс) + (2а + b) (— d) = - бас + 3be—2ad—bd, (а—Ь)г = (а — Ь) (а — Ь) = аг—2аЬ-\-Ьг, (а-\-Ь)(а—Ь) = аг~Ьг

и т. д. В этом, собственно говоря, и заключается ценность скаляр­ного произведения: с одной стороны, оно геометрически инте­ресно, так как позволяет находить длины отрезков (см. (46)) и величины углов (см. (45) и указанное выше условие перпендику­лярности); с другой стороны, скалярное произведение алгебраи­чески удобно, так как вычисления со скалярными произведе­ниями производятся по правилам, хорошо известным из арифметики и алгебры.

Имеются, однако, и серьезные различия между «арифметикой векторов» и привычной нам арифметикой чисел. Заметим прежде всего, что скалярное произведение двух векторов является не век­тором, а объектом другой природы — числом («скаляром»). Это обстоятельство делает невозможным постановку вопроса об определе-

а

нии «векторного деления»—символу у нельзя приписать никакого

смысла'). Это же обстоятельство мешает рассматривать произведе­ния трех векторов; например, формула

(a -f Ь)г = а' 4- ЗагЬ + 3аЬг -f- Ьг

') Можио, правда, определить «частное — от деления числа а на

вектор а* как такой вектор Ь, что скалярное произведение ab равно а; однако и эта операция «деления числа на вектор» не заслуживает серьез­ного внимания (в первую очередь в силу неоднозначности определяемого таким образом вектора Ь).

на область векторов никак не переносится. Далее, в то время как в обычной арифметике произведение двух чисел равно нулю только в том случае, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, в «арифметике векторов» дело обстоит совсем не так: равен­ство ab = 0 может выполняться и при аф 0, Ьф 0 (если векторы а и ft взаимно перпендикулярны). Последнее замечание влечет за собой еще одно существенное различие между «арифметикой векторов» и обычной арифметикой: векторные равенства нельзя сокращать на отличный от нуля множитель. В самом деле, если из соотно­шения ас = be для чисел a, b и с ф 0 вытекает, что а = Ь, то из равенства

ас = be (с ф 0)

вытекает лишь, что ас—Ьс = 0 или (а — ft)e = 0 и, следовательно, вектор а — b перпендикулярен вектору с.

Приведем еще формулу вычисления скалярного произведения при помощи координат.

Пусть в некоторой системе координат XOY вектор а имеет коор­динаты (xv у,), а вектор b — координаты (хг, уг). Тогда в силу (25)

a = x,i+yj, b = xti+yj,

где i и j—единичные векторы, направленные по осям координат. Ло = 1, /= 1, ij= 0, откуда следует

ab = (xj+yj) (xj+yj) = х,хг1г + (xj, + x^Jij+yjJ1 =

= ХхХ2+у,уг.

Итак, скалярное произведение двух векторов на плоскости можно вычислять по формуле

ab = x1xi+y1yi,          (50)

где (х1 ,уг)—координаты вектора а. а (х2, уг)—координаты век­тора 6.

Совершенно аналогично устанавливается, что скалярное произведе­ние двух векторов в пространстве можно вычислять по формуле

aft=x,*i + +     (50а)

где (xv у,, г,) — координаты вектора а, а (хж, уг, zt) — координаты вектора Ь.

Из формул (50), (50а) (которые можно, если угодно, принять за ■определение скалярного произведения) нетрудно вывести вновь все его свойства. Так, из них сразу следует, очевидно, что ab = ba\ кроме того, если а = {х,, у,), ft — (%2, у2), c = (xs,y,) (мы здесь отра-

 

ничиваемся лишь несколько более простым случаем плоскости), то

a (Kb) = jc, (Ъ:2) + (Яу,) = Кх,хг + Kyty, = К (х,х, + у,у,) = К(аЬ),

а (Ь + с) = д:, (xt 4- хг) + уг (у, + у,) = л;,*, 4- 4- у,у, 4- угу, =

= +У,У.) + 4-y,ys) = ab + ac

и т. д (ср. формулы (49) и (48), стр. 328)

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я