• 5

Решение.

 Построим ло N       ч®       X маную 0АхАг..-Ап+Л, звенья

которой имеют длину 1, а внешние углы равны ф (рис.. Рис. 50.            50). Далее, возьмем систему

координат с началом О и осью UX, направленной по вектору ОАи и обозначим:

 

l0=OA„ 11 = А,А2, 12=А2А3, .... 1„=АпАп+1.

Тогда вектор 10 образует с осью ОХ угол, равный нулю, вектор I, обра­зует угол ф, вектор 12 угол — 2ф и т. д., вектор /„—угол пц>.

Следовательно,

вектор 1В имеет координаты (cos 0, sin 0) (т. е. 1 и 0). « /, «           «          (cos ф, sin ф),

« 1г «  «          (cos 2ф. sin 2ф),

« /„ «   «          (cos лф, sin/гф).

Из этого вытекает, что вектор 10-\- /, -f-12 + ... + 1п имеет абсциссу (43а) и ординату (436). Но /0+ /,+ ...+ /п=ОЛ, + А^А2+ ЛПЛП+, =ОАп+и и нам остается вычислить координаты х, у вектора ОАп+1—это и будут искомые суммы (43а) и (436)

Пусть М — центр окружности, проходящей через вершины ломаной ОЛ,Л2... Лп+1. Опустив из точки М перпендикуляр MN на отрезок ОЛ,, мы найдем

и потому

ОМ^-

2 1 2

1

2sini

Вектор ОМ образует г осью ОХ угол      и потому имеет коорди-

* = ОМ- cos (i—2-)=0M.sin-|=^, j,=0/H.sin (JL-^^OM-cos

ф

C0ST

2 sin

Далее, каждый из углов А,МА2, A2MAS, . . равен ф, поэтому Л,МЛя+1 = = шр. Следовательно,     = + <$, и, значит, вектор Л4Лп+1

образует с осью ОХ угол + —тр ■ ^ так как МЛп+1=ОЛ1, то век­тор ИЛ„+] имеет координаты

Г / 1 \ 1 / 1 \ s'n ^ л + "йг") Ф t = 0M-cos Ц в + -2-)ф—JJ = О/И-sin ( п + т )ф =         *           .

2sinT

г/ 1 \ я 1 / 1 \ со5(п + 1)ф j/ = OM-sin [("+ 2"]<Р TJ =-OM.cos(^+ -<?] =                                   .

Наконец, ректор ОАп+1 = ОМ +МАп+1 имеет координаты ! sin ^/i+i-j <р sln-|- + sin      "Р

"2+ Г~Ф = Г-Ф ~ '

2 sin ~            2 sin ~

i-5- cos ^ « + "2" j Ф cos"f-— cos ( n + 4)

cos

У =

Это и есть искомые значения сумм (43а) и (436).

2 sin -2- 2 sin            2 sin

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я