• 5

3.4. Связь с тригонометрическими функциями.

 Укажем еще связь проекций и координат векторов на плоскости с тригонометри­ческими функциями. Пусть XOY — некоторая прямоугольная система координат на плоскости. Пусть, далее, I—вектор длины 1, обра­зующий с осью ОХ угол ф. Углы, как обычно, мы уславливаемся отсчитывать против часовой стрелки (рис. 44); угол, отсчи­тываемый по часовой стрелке, считается отрицательным. Тогда имеют место формулы

simp = np0},/, coscp = npOY/,        (32)

т. е. вектор I имеет координаты: x = cos<p, у = sin ср. Соотноше­ния (32) легко проверяются в случае острого угла ср (рис. 45); в случае же произвольного угла ср их следует рассматривать как определение величин sin ф и cos ф. Это определение, очевидно, совершенно эквивалентно определению с помощью тригонометриче­ского круга, но, как мы увидим ниже, значительно удобнее.

Пусть с—произвольный вектор. Обозначим его длину через а, а угол, который он образует с осью ОХ, через ср. Тогда, как легко

видеть, координаты вектора а имеют следующие значения:

x = ccosq), у = д sin ср.       (33)

В самом деле, обозначим через I вектор длины 1, имеющий то же направление, что и вектор а Тогда а = а/. Так как вектор I имеет координаты (coscp, simp), то век гор a = al имеет координаты, указан­ные формулой (33).

Из формулы (33) легко вытекает формула для вычисления проек­ции произвольного вектора а на любую ось I. Примем ось I за ось абсцисс и направим ось ординат перпендикулярно к ней. Тогда мы

 

 

 

Рис. 41

Рис 4».

получим систему координат XOY и в этой системе число npta будет в силу (31) абсциссой вектора а Согласно (33) эта абсцисса имеет значение асoscp, где а — длина вектора а. а ф — угол, кото­рый он образует с осью абсцисс (т. е. с осью /). Итак,

ир, а = а cos ф.

(34)

(35)

Отметим еще, что из данного выше определения синуса и коси­нуса (см. (32)) легко вытекают известные формулы приведения:

cos(—ф) = cos ф, sin ( —ф) = — sin ф,

cos ^ф — = sin ф,

sin ^ф—y j = — cos ф.

В самом деле, вектор, образующий угол ф с осью ОХ, и вектор, образующий угол —ф с осью ОХ, симметричны относительно оси абсцисс, откуда и следуют первые две формулы (35). Далее, рас­смотрим, кроме системы координат XOY (рис. 46, а), еще систему координат Х'ОУ, получающуюся из нее поворотом на угол 90° про­тив часовой стрелки (рис. 46, б). Вектор I длины 1, образующий

с осью ОХ угол ф, будет с осью ОХ образовывать угол ф—~ , и потому координаты вектора I в системе XOY будут

х=соБф, у = sin ф,   (36)

а в системе X'OY' этот же вектор имеет координаты

*' = cos(q>—-• / = sin(q>—j).          (37)

Но из расположения систем XOY и X'OY' ясно, что

х'=у, у' = — х (38)

(ибо ось ОХ' совпадает с OY, а ось OY' имеет направление, проти­воположное направлению оси ОХ). Из (36), (37), (38) непосредственно вытекают последние две формулы (35).

 

Из формул (35) легко вытекают все остальные формулы приведе­ния. Например, заменяя в последних двух формулах (35) угол ф на

ф -f- — , получим

cosф = sin (ф + у) » sin ф = —cos + i

далее,

sin(ф + я) = sin Ф + =cos (ф+ 2") = — з!пФ-

и т. д.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я