3.2. Свойства проекций.

 Основные свойства проекций выража­ются следующими двумя равенствами, в которых а и Ь—произволь­ные векторы, а К—действительное число:

пр, (а + Ь) = пр, а 4- пр, Ь, (29)

пр, (Ка) = А • пр, а.  (30)

Соотношения (29) и (30) доказываются очень просто. В самом деле, пусть а = АВ, Ь = ВС\ тогда а + 6 = АС. Обозначим через Л1, В,, С, проекции точек А, В. С на ось /. Согласно (28) мы можем написать

где

Но мы имеем

АХВЛ = x'l, В, С, = x"l, А = xl, х' = пр7 a, x"=npfft, х = npt (а + 6).

xl = /4 = А ,В, + В,С, = х7 + х"1 = (х' + У) /,

откуда х = х' л:", и соотношение (29) доказано. Далее, пусть

а = АВ, "ка — АВ'. Спроектируем точки А, В, В' на ось /; мы £

Рис. 43.

получим точки Av В,, В, (рис. 43, с, б—случаи X > 0 и А. < 0). Из параллельности прямых AAlt BBV В'В, вытекает, что Л1В,=ХЛ1В1. На основании (28) мы можем написать

где

Л,В, = xl, Л,В, = x'l, х=прга, х' = прг(Ха).

Таким образом,

х7 = А^В; = X • ЛД = X (х/) = (Хх) Л

откуда х' = Хх, и соотношение (30) доказано.