§ 3. Скалярное произведение векторов

3.1. Проекция вектора на ось. В этом параграфе мы будем предполагать, что выбрана единица измерения длин.

Прямая линия, на которой задано некоторое направление (обычно указываемое стрелкой), называется осью. Пусть/—некоторая ось и АВ—

б)

Рис. 40.

направленный отрезок (рис. 40, а, б). Проекции точек А и В на пря мую / (т. е. основания перпендикуляров, опущенных из точек А и В на прямую /; в случае векторов в пространстве это —точки пересечения

Рис. 41.

прямой I с перпендикулярными к I плоскостями, проходящими через точки А и В) мы обозначим через At и В,. Длину отрезка АХВХ, взятую со знаком «-Ь», если направление           (от Аг к В,) совпа­

дает с заданным на оси I направлением, и со знаком «—» в про­тивном случае, мы будем назы­вать проекцией направленного от­резка АВ на ось / и будем обозна­чать ее через

пр, АВ = ± (длина А1В1).

Если отрезок АВ перпендикулярен оси /, то точки Л, и В, совпа­дают, и пр {АВ оказывается равной нулю. Легко видеть, что если направленные отрезки АВ и CD определяют один и тот же вектор, то их проекции на ось I одинаковы (ср рис. 41, относящийся к случаю векторов на плоскос ги; заштрихованные треугольники, очевидно, равны между собой). Поэтому можно говорить о проекции вектора на ось. Проекцию вектора а на ось / мы будем обозна­чать символом пр., а.

Проекцию вектора на ось можно определить еще следующим образом Пусть обозначения А, В, А,, В, имеют тот же смысл, что и выше. Обозначим через I вектор длины 1, имеющий направление оси I (рис. 42). Так как векторы AtBt и I параллельны одной прямой, причем I ф 0, то в силу предложения 1 на стр. 310 мы можем написать

ЙД = xl,          (28)

где х—действительное число. Легко ви

деть, что число х как раз равно искомой

проекции:     -—

х = пр, АВ.

В самом деле, из соотношения (28) вы­текает, что абсолютная величина числа

Рис. 42.

х равна длине отрезка Апричем это число положительно, если векторы А,В, и I одинаково направлены, и отрицательно в про­тивном случае.