• 5

Задача 5

Пусть Е, F\ К, L\ М, N— середины «сторон» АВ и CD, AD и ВС, АС и BD «четырехвершинника» ABCD. Доказать, что отрезки ЕЕ, KL и MN пересекаются в одной точке . и делятся в этой точке пополам (рис. 39).

ИС-     Здесь тоже объединены следую­

щие два с первого взгляда разные предложения: 1) «средние линии» EF и KL произвольного (пло­ского) четырехугольника ABCD и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам; 2) отрезки, соединяющие середины противопо­

 

ложных ребер произвольной треугольной пирамиды (тетраэдра), пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам Решение. Пусть Q—произвольная точка; середины отрезков EF, KL и MN мы обозначим через Sx, 5г и (пока нам еще неиз вестно, что это — одна точка). С помощью формулы (24) получим:

QE=±(QA + QBl,

QF=±(QC+QD);

QK=±r(QA + QD),

QL=±(QB+QC)-,

Отсюда, в свою очередь, вытекает:

Щ = ~ (QK+QL) = 4- (QA + QD + QB+ Щ,

QS,=±-(QM+QN) = ±(QA+QC+QB+QD). '

Последние три формулы и доказывают совпадение точек 5,, S1, и 5, (ср. формулу (7), стр. 301).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я