• 5

Задача 4

Медианой «четырехвершинника-ь ABCD называется отрезок, соединяющий одну из вершин (скажем А) с центром тяжести треугольника, образованного тремя другими верши­нами (треугольника BCD). Доказать, что четыре медианы «четырехверишнника» пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 3:1, считая от вершины (рис. 38, а, б).

Заметим, что слово «четырехвершинник» может означать как обыкновенный плоский четырехугольник, так и треугольную пира­миду (тетраэдр); мы потому и используем этот новый термин, чтобы подчеркнуть, что рассматриваются одновременно оба случая. Таким образом, здесь мы имеем одновременно два разных предложения — одно планиметрическое, а второе стереометрическое,—которые не различаются по доказательству.

 

Решение. Обозначим медианы «четырехвершинника» ABCD через ААХ, BBt, СС,, DDt и выберем еще одну произвольную

Рис. 38

точку Q. Согласно формуле (27) мы имеем

Далее, точка Мг, делящая медиану AAt в отношении A/V1, :М1А1 = 3:1, удовлетворяет соотношению (см. (23))

QM, = | Щ + J- QA, = 1 Ой + А (1 (QS+ QC+ QD)) =

Совершенно такой же подсчет показывает, что точки Мг, Ж3, Ж4, делящие в отношении 3:1 другие медианы, удовлетворяют тому же

соотношению Таким образом, Mv М2, Мл — это одна и та же точка М, через которую проходят все четыре медианы

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я