• 5

Задача 3

Доказать, что медианы произвольного треуголь­ника ABC пересекаются в одной точке и делятся в ней в отно­шении 2:1, считая от вершины.

Решение. Обозначим медианы треугольника через AD, BE, CF и выберем еще одну произвольную точку Q (рис. 36). Согласно формуле (24) мы имеем

QD=j (QB+QQ-

Далее, точка /И,, делящая медиану AD в отношении AM1:MlD = 2: 1 (рис. 37), удовлетворяет соотношению (см (23))

0Мг j   = y + | (I (Qfl+QCj) = j (QA+OB+QC).

 

Совершенно такой же подсчет показывает, что если Жг и Ж, — точки, делящие медианы BE и CF в отношении 2:1, то

QM2 = QM, = j (QA + QB+QC).

Таким образом, Ж,, Ж, и Ж, — это одна и та же точка Ж (через которую проходят все гри медианы).

 

 

 

Из приведенного решения этой задачи вытекает следующий факт, который удобно использовать при решении ряда других задач:

Пусть ABC—произвольный треугольник и Ж—точка пересе­чения его медиан (она называется также центром тяжести треугольника). Тогда при любой точке Q справедливо соотношение:

0Ж = у(0Л + 0£+0С).           (27)

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я