• 5

Задача 2

Даны три точки О,, Ог, О, и еще одна точкаМ (все эти точки могут и не лежать в одной плоскости!). Обозначим через М, точку, симметричную М относительно точки О,, через Мг — точку, симметричную М, относительно Ог, через М, — точку, симметричную Мг относительно О,, через МЛ — точку, симмет-

') См. также статью, указанную в сноске1) на стр. 298.

ричную М, относительно О,, через Мъ—точку, симметричную ,И, относительно Ог и через Жв — точку, симметричную Мь относи­тельно О,. Доказать, что точка Ме совпадает с исходной точ­кой М (рис. 35).

Решение. Пусть Q — какая угодно точка. Используя соотно- шение (24) (которое можно также переписать в виде соотношения (M4-Q5=2QC), мы можем условие задачи записать в виде следую­щей цепочки равенств:

QM+'QMl = WOv 0М, + 0Мг = 2фг> 0Мг + 0М3 = 20О2,

QMt + QMt = 2QOv

Щ, + Щ = 2QO,, QMl+QM,=2QOa.

рИС- 35         Так как первое и второе из этих

равенств содержат вектор QM, , то с их помощью можно исключить этот вектор; второе и третье равенства позволяют исключить вектор QMt и т. д. В результате окажется возможным вычислить вектор QMa. Это можно сделать, последовательно подставляя значения векторов QMV QjWs, ... в по­следующие равенства, но проще сложить первое, третье и пятое из выписанных равенств и вычесть из них второе, четвертое и шестое. Тогда сразу получим

QM— QMe = 0. или ЛуЙ = О,

а это и означает, что точки М и Ме совпадают.

«Обычное» решение этой задачи (не использующее векторов) тре­бует рассмотрения целого ряда треугольников и довольно утомительно.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я