• 5

2.10. Линейная зависимость векторов.

 Отметим еще важное понятие линейной зависимости векторов, которое будет использо­вано ниже, в § 7. Векторы с,, . .., ак называются линейно зависи­мыми, если существуют такие числа а,, . . ., а^. среди которых есть хотя бы одно отличное от нуля, что

а,я, + агаг + - + Uft«ft = О

Если таких чисел а,, . ., ак подобрать нельзя, то векторы av . . .,ah называются линейно независимыми. Имеют место следующие пред­ложения:

Если два вектора параллельны одной прямой, то они линейно зависимы. Если три вектора параллельны одной плоскости, то они линейно зависимы. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Справедливость первого предложения вытекает из предложения 1 на стр. 310. Пусть теперь а, Ь, С — три вектора, параллельные одной плоскости. Если векторы а, Ь параллельны одной прямой, то между ними существует линейная зависимость: аа -J- fib = 0, и потому между векторами a, b, с имеется линейная зависимость аа -}- fib + Ос = 0. Если же векторы а и b не параллельны одной прямой, то, согласно (25). C = xa-{-yb, где х, у — действительные числа, и потому между век­торами а, Ь, с имеется линейная зависимость xa-\-yb-\-(—1)с = 0. Наконец, пусть а, Ь, с, d — четыре вектора пространства. Если век­торы а, Ь, с параллельны одной плоскости, то между ними сущест­вует линейная зависимость: аа -J- fib + ус = 0, и потому между век­торами a, b,c,d имеется линейная зависимость аа+ (36-f-yc-{-0d = 0. Если же векторы а, Ь, с не параллельны одной плоскости, то, со­гласно (26), d = ха-f-yb + zc, где х, у, z — действительные числа, и потому между векторами а, Ь, С, d ив этом случае имеется линей­ная зависимость ха-f-ybzc-f-(—l)d = 0.

Итак, в пространстве существуют три линейно независимых век­тора (три вектора, не параллельных одной плоскости), но любые че­тыре вектора линейно зависимы. Этот факт обычно и имеют в виду, когда говорят, что пространство имеет три измерения. Плоскость имеет два измерения, так как на ней можно найти два линейно не­зависимых вектора (два вектора, не параллельных между собой), но любые три вектора на плоскости линейно зависимы. Наконец, пря­мая имеет одно измерение. В математике рассматриваются также пространства любого (и даже бесконечного) числа измерений. Не­

 

сколько слов об этом читатель найдет ниже, в § 7 этой статьи '), а подробная статья о многомерных пространствах будет помещена в кн. V ЭЭМ.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я