• 5

2.9. Координаты вектора.

 До сих пор мы говорили лишь о таких свойствах векторов, которые являются одними и теми же как в слу­чае плоскости, так и в случае пространства. Теперь мы впервые от­метим различие между этими двумя случаями.

Пусть i=OZ и j=OJ — два произвольных вектора плоскости, не принадлежащие одной прямой (рис. 32, а). Каждый вектор а = ОА плоскости можно, как легко видеть, разложить на сумму двух век­торов а, = 0.4, и аг = ОАг, направленных по тем же прямым, что и векторы i, J: для этого достаточно построить параллелограмм OAtAAt,

о

о)

две стороны которого имеют направление векторов i и J, а днаго наль совпадает с OA (рис. 32, б; одно из двух слагаемых а, или аг может и отсутствовать). В силу предложения 1 (стр. 310)

ОА1 = х 01 = xi, ОА2 = у ■ CU = yj,

где х и у—некоторые действительные числа, и потому

а = ОА = ОЛ, + ОАг = xi + yj.

Итак, если на плоскости фиксированы два ненулевых вектора i, j, не параллельных одной прямой, то любой вектор а плоско­сти можно представить в виде суммы

а = xi+yj,         (25)

где х и у — действительные числа (зависящие, конечно, от вектора с). Важно отметить, что числа х и у определяются вектором а одно­значно. Действительно, если бы вектор а можно было двумя различ­ными способами представить в виде суммы (25):

a = xj+yj, a = x2i+y.J,

I I

 

Рис. 32.

то г»1ы имели бы

xli + yj=xj + y2j.

{xl — x2)i=(y2—yl)J.

Так как мы двумя различными способами представили а в виде суммы (25), то хотя бы одно из равенств х, =х,, уг=у2 места не имеет. Пусть, например, х,фхг. Тогда

I

. У»—У\ i

' V        V J'

 

а это противоречит тому, что векторы I, J не параллельны одной прямой.

Числа х и у, однозначно определяемые вектором а по формуле (25), называются координатами вектора а относительно пары векторов!, У (или относительно системы коорди­нат, определяемой векторами t, J). Говорят также: вектор а имеет в системе t, j координаты (х, у).

Аналогично этому, если i = OJ . j = OJ, k = OK— три вектора про­странства, не принадлежащие одной плоскости, то любой вектор а = ОА можно представить в виде суммы а = а, + + где векторы а,, а2 и а, принадлежат прямым OJ, OJ и

ОК. Для доказательства достаточно построить параллелепипед ОА,ВАгА3САО, три ребра СМ,, ОАг и СМ, которого направлены по прямым 01, OJ, ОК(рис. 33; некоторые из векторов а,, а2 и а, могут превращаться и в нулевой вектор 0). Отсюда следует, что любой вектор а пространства может быть представлен в виде суммы

а = xi-\- yj+zk,            (26)

где х, у, z — действительные числа. Числа х, у, z и здесь одно­значно определяются вектором а. Они называются координатами вектора а в системе i, j, k.

Из формул (25) и (26) вытекает:

Если векторы а и b имеют координаты (х,, у,) и (х2, у2) (или, в пространстве, координаты (х,, у,, zt) и (х2, у2, г2)), то векторы а-\-Ь и Аа имеют координаты (х, -f--vti y,+ys) и (Ах,, Ау,) (или, в пространстве, (х, + х2, у, + у2, zt +.г2) и (Ах,, Ay,, Аг,)).

В самом деле, из правил, относящихся к сложению векторов и умно­жению вектора на число, сразу следует:

Если a = xj + yj, a b = x2i+y2j, то

а + b = (xj+yj) + (x2i + yj) = (x, + x2) i + (y, +ys )J

И

Ха = X (xj+yj) = (tag i + (Xyjj,

что и доказывает наше утверждение. Разбор случая векторов в про. странстве (векторов, имеющих три координаты), почти не отличаю щегося от рассмотренного, мы предоставим читателю.

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я