• 5

Предложение 3.

 Пусть С—точка, делящая отрезок АВ в отношении т:п (т. е. АС:СБ = т:п')), и Q — произвольная точка плоскости. Тогда

QC=;

QA-

QB.

(23)

т + п " ' т + п

Обратно, если выполнено соотношение (23), то точка С делит отрезок АВ в отношении т:п.

В самом деле, соотношение (23) можно переписать в виде

QC=QA-

т + п

QA-

т+п

QB,

или, нначе,

QC- QA ■■

т

или, наконец, в виде

АС=

т + п т

т + п

(QB-QA), АВ,

а это и означает, что точка С делит отрезок АВ в отношении т-п (рис. 30).

 

Рис. 30.

Рис. 31.

Отметим один важный частный случай предложения 3: точка С тогда и только тогда является серединой отрезка АВ, когда

(24)

QC=j(QA+QB)

(Q—произвольная точка; рис. 31). Это вытекает из формулы (23) при т = п (ср. рис. 30). Можно сказать и иначе: для того чтобы точки А и В были симметричны относительно точки С, необхо­димо и достаточно выполнение соотношения (24).

') Нижеследующее рассуждение и формула (23) сохраняют силу и в том случае, если отношение АС :СВ — т:п отрицателы о, т е. отрезки АС и СВ имеют разное направление (точка С лежит иа прямой АВ вне отрезка АВ).

Авторы: 1379 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 1908 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я